Квантовые операторы − символические изображения математических операций преобразования величин в квантовой теории. В квантовой механике постулируется, что каждой физической величине, описываемой в классической механике функцией
F(x,y,z,p_x,p_y,p_z) координат и импульсов, ставится в соответствие линейный оператор
(,,,) действующий на волновую функцию ψ(x,y,z,t). Под оператором понимается правило, по которому одной функции ψ(x,y,z,t) переменныx x, y, z, t сопоставляется другая функция χ(x,y,z,t) тех же переменных.

χ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z,t).

Например: оператор может означать дифференцирование по какой-либо переменной:

χ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z,t) = ∂(x,y,z,t)/∂x,

т. е. = ∂/∂x.
    При построении операторов используется принцип − между операторами, описывающими частицы в квантовой механике, имеют место те же соотношения, что и между их аналогами в классической механике. Например, оператор полной энергии связан с операторами кинетической и потенциальной энергии соотношением
. = + .
    Примеры некоторых операторов.
    Оператор координаты равен самой координате x, т. е. сводится к умножению на эту переменную: = x.
    Операторами проекций импульсов являются операторы

_x = (ћ/i)(∂/∂x), _y = (ћ/i)(∂/∂y), _z = (ћ/i)(∂/∂z).

    Остальные операторы могут быть построены, используя операторы координаты и импульса и простое правило, которое выполняется в большинстве случаев: в квантовой механике операторы физических величин выражаются друг через друга так же, как сами физические величины в классической физике.

    Оператор кинетической энергии :

    Оператор Гамильтона (гамильтониан) − оператор полной энергии :

= + .

    Если частица движется в потенциальном поле U(x,y,z), то оператор Гамильтона имеет вид

    Оператор момента количества движения :

    Оператор квадрата момента количества движения ²:

    С каждым оператором в квантовой механике связывается уравнение

ψ_n(x) = F_nψ_n(x),

определяющее его собственные значения F_n и полную систему ортонормированных функций ψ_n, подчиняющихся определенным граничным условиям. Совокупность величин F_n определяет спектр возможных значений физической величины F. Функция ψ_n(x) характеризует состояние системы, в котором величина F имеет значение F_n.
Например, уравнения для собственных функций и собственных значений операторов, _x, _y, _z имеют вид

    Решением первого уравнения является волновая функция

где a(y,z) произвольная функция (y,z).