< Previous | Contents | Next >
3.1.1. Система уравнений ядерных превращений
Эволюция концентрации каждого отдельного изотопа в ядерной астрофизи- ческой системе описывается дифференциальным уравнением следующего вида:
dyi dt
= λkgk
k∈Ki
yl, (8)
l∈Lk
±
где yi - концентрация i-го изотопа, λk - скорость протекания k-ой реакции. Величина gk принимает значения 1 в зависимости от того, нарабатывается или расходуется i-й изотоп в k-й реакции. Ki - множество всех реакций, в которых i-й изотоп фигурирует в качестве исходного или продукта, Lk - множество исходных изотопов k-й реакции. Ясно, что если изотоп расходуется в реакции, то он входит в Lk не менее одного раза.
Записанные для каждого изотопа, эти уравнения образуют систему:
dy
dt = f (y), y|
t=0
= y0
, (9)
где y, f - векторы значений концентраций изотопов и правых частей уравне- ний (8) соответственно, y0 содержит начальные концентрации.
В качестве примера рассмотрим реакцию 12C(α, γ)16O, протекающую со ско- ростью λ. Запишем фрагмент системы уравнений 9, определяемый этой реак- цией:
y˙(4He) = −λy(4He)y(12C) + ...
y˙(12C) = −λy(4He)y(12C) + ...
y˙(16O) = +λy(4He)y(12C) + ...
Неизвестными здесь являются все концентрации изотопов y, кроме их началь- ных значений. В модели реальной астрофизической ядерной системы число изо- топов исчисляется сотнями, и каждому соответствует такое уравнение. Итого- вая система обладает очень большой размерностью.
3.1.2. Особенности задачи звездного горения
Системы уравнений, подобные 9, задающие эволюцию некоторого вектора под действием многих факторов, часто встречаются в физике, химии, экономике и других областях науки. Для их решения разработано множество численных методов, многие из которых реализованы в виде пакетов компьютерных вы- числений. Тем не менее ни один из этих методов не является универсальным. Широко применяющиеся классические явные численные схемы, среди которых семейство методов Рунге-Кутты и, в частности, метод Эйлера, оказываются неприменимы к некоторым задачам, которые принято называть жесткими. По- нятие жесткости довольно нестрого, можно ограничиться следующим опреде- лением: жесткими называются такие системы ОДУ, решение которых при по- мощи явных численных методов дает неконтролируемый рост ошибки, который не может быть устранен путем уменьшения шага интегрирования.
Задача моделирования астрофизических ядерных процессов является сверх- жесткой. Ее жесткость обусловлена большим разбросом коэффициентов урав- нений, то есть величин скоростей протекания реакций. В предыдущем разделе 2 мы убедились, что даже расчет сечений одной и той же реакции нейтронного захвата с учетом разных ядерных моделей может давать значения, различаю- щиеся на порядки. В общем случае скорости различных астрофизических ре- акций могут различаться на десятки порядков. При этом понижать жесткость задачи путем пренебрежения некоторыми реакциями недопустимо, так как це- лью моделирования процессов нуклеосинтеза является установление мельчай- ших выходов самых малораспространенных изотопов.
Итак, моделирование звездного нуклеосинтеза требует применения числен- ных методов, специализированных для решения сверхжестких задач.