< Previous | Contents | Next >
94 ЧАСТЬ 11. ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИОННЫХ ШУМОВ
Обозначая последнюю вероятность в суммировании через Рк(/) dl используя применявшиеся ранее обозначения и отбрасывая мно житель dl, получим
Р(/) = р(К)Рк(I) . (1.4-2}
К=О
Вычислим Рк(/) методом «характеристических функций», нс пользуя определение/ к(t) к
Iк(t) = LF(t-tk ). (1.3-1)
k=i
Этот метод будет пр1:1менен в его простейшей форме: вероятность того, что сумма К независимых учайных переменных
Х1 + Хз+ • • •+ Хк
п
п
п
находится в интервале· между Х и X+dX, равна
dX е
dX е
dX е
1 +оsо -IXa
К
k=i
(сред. знач. е lxka ) du.
(1.4-3)
Среднее значение ixk", т. е. характеристическая функция распре деления Xk , находится усреднением по з1;1ачениям Xk . Хотя это и наиболее простая форма метода, но она также и наименее общая, так как интеграл в некоторых важных случаях расходится. При• мером такого случая является распределение, которое дает вероят-
ность21 , что Xk = -1, и 2 1 , что Xk = 1. Однако в таких случаях
все же формально можно пользоваться урав}Iением (1.4-3), при мен яя соотношение
S
S
S
+ 00
-iaa
е du
= 21t8(a), (1.4-4)
где о(а)=О за исключением а=О, когда о(О)= оо, а ее интеграл, взятый в цределах от а=-sдо a=+s, равен единице (здесь s>O)
Если заменить Xk на F(t-tk ), то видно, что среднее значен:tlе
т+
т+
т+
eixka раВНО •
Sехр [iuF(t - tk )] dtk .
о
Все К характеристических функций одинаковы, и, следовательно,
из (1.4-3) Рк(/) dl равно
из (1.4-3) Рк(/) dl равно
из (1.4-3) Рк(/) dl равно
s (+J
dJ ;,
е-U•
ехр [iцF(I- ,)1 d, ( dц,
о