< Previous | Contents | Next >
Следовательно, если Л<t<Т-Л, то
+оо +оо 2
/ (t) = *S·F2 (t )dt + K( I)[
F(t)dt]
Усредняя по всем интервалам, а не только по тем, в которые
на анод поступает К электронов, получим
• +оо
• +оо
• +оо
J
/ 2 (t) = р(К) / (t) = V
к-о
- 00
F 2 (t) dt + /(/)2 ,
где суммирование по К выполняется так же, как в (1.3-4), а после
-суммирования подставляется значение (1.3-4) для /(t). Сравнение
<: (1.3-5) доказывает вторую часть теоремы.
1.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОКА /(t)
Если выполняются некоторые условия, то часть времени, в те ение которого ток /(t) заключен в пределах (l,J+dl), равна Р(/) dl, где при V-+ оо плотность вероятностей Р(/) сходится к
- (J- J)2/ 2a2
al е I (l .4-1)
Здесь Г- среднее значение /(t), равное (1.2-2), а КЩ:!драт стандарт ного отклонения а1, т. е. дисперсия, равна (1.2-3). Нормальное распределение следовало ожидать ·в силу «центральной предельной теоремы» теории :5ероятностей. Она утверждает, что при некоторых условиях распределение суммы большого числа случайных перемен ных сходится к нормальному закону распределения, дисперсия ко торого равна сумме дисперсий отдельных переменных. Подобным же образом среднее значение нормального распределения равно сумме средних значений отдельных переменных.
До сих пор говорилось о предельной форме плотности вероятно
-стей Р(/). Можно написать точное выражение для Р(/), которое, однако, весьма сложно. Из точного выражения может быть полу чена предельная форма. Найдем теперь это выражение.
В соответствии с тем, как это было сделано при доказательстве теоремы о наложении случайных возмущений, ищем плотность ве роятностей Р(/) для значений /(t), наблюденных через t секунд от начала каждого из промежутков длительностью Т, составляющих большое число М.
Вероятность нахождения I(t) в интервале (/, / +dl) =
00
= (вероятность поступления точно К электронов) Х
К=О
Х (вероятность нахождения lк(t) в интервале ( /, I+dl)
при поступлении на анод точно К электронов).