< Previous | Contents | Next >
90 ЧАСТЬ II. ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИОННЫХ ШУМОВ
s
s
s
а средний квадрат флуктуаций вокруг этого среднего значения
+ 00
[/(t) - /(/)]2 = V F2(t) dt, (1.2-3)
где v есть среднее число электронов, попадающих на анод за 1 сек. Формулировка этой теоремы не будет достаточна, пока не опреде.цено, что подразумевается под словами «средl! е значение». Форма приведенных выше уравнений может натолкну а мысль,
что это есть среднее во времени, т. е. значение
т
lim !т SI(t) dt. (1.2-4)
т- 00 о
Однако при доказательстве этой теоремы усреднение обычно производится по весьма большому числу промежутков длительно стью Т, а t сохраняется постоянным. Этот процесс в известной сте пени подобен применявшемуся в разделе (1.1); для большей ясно-
сти рассмотрим, что представляет собой, например, /(t). Мы наблю даем /(t) во многих, скажем М, интервалах, длительностью каждый Т, причем Т велико по .сравнению с промежутком, в течение кото рого эффект F(t), вызыраемый поступлением одиночного электрона, значителен. Пусть nl(t') будет значение /(t) через t' секунд после начала п-го интервала. t' равно- плюс постоянная величина, за висящая от начального момента интервала. Индекс поставлеf! впе реди, чтобы сохранить обычное место для другого индекса, кото
рый будет введен позже. Значение /(t') тогда определяется так:
' 8 А
' 8 А
' 8 А
1
1
1
./(t') lim [ / (t') +J(t')+• • • +мl (t')],] (1.2-5)
м ОО •
причем предполагается, что предел существует. Средний квадрат флуктуаций /(t') определяется таким же точно путем.
s
s
s
Как показывают уравнения (1.2-2) и (1.2 3), эти средние зна чения и все им подобные средние значения, появляющиеся в даль нейшем, оказываются независимыми от времени. Когда это спра ведливо и входящие в уравнение (1.2-5) М интервалов следуют друг за другом, среднее во времени (1.2-4) и среднее ·(1.2-5) становятся одинаковыми. Чтобы это показать, умножим обе части (1.2-:-5) на dt' и проинтегрируем в пределах от О до Т:
м т мт
J
J
J
/(t') = lim т1: С. m/(t') dt' = lim т
М-+оо М-+оР
m=10 О
l(t) dt,
(1.2-6)
а это то же самое, что и среднее во времени (1.2-4), если только последний предел существует.