< Previous | Contents | Next >
ПРИЛОЖЕНИЯ 85
так как Т - инвариантна и поэтому может переставляться с нл .
Таким образом, если т [S] есть вероятностная мера множества S, то
т [№S1J=m [TH"SJ =m [H•S2J=m [S 2J= m[S 1] ,
где второе равенство следует из определения меры вg-пространстве, третье - из стационарности f-ансамбля, а последнее - опять таки из определения меры g. Это показывает, что g-ансамбль стациона рный.
Для доказательства сохранения эргодических свойств при ин вариантных операциях положим, что S 1 есть подмножество g-ан самбля, инвариантное при операциях НА, и пусть S 2 будет мно жество всех функций f, которые преобразуются в S 1. Тогда
нxsl =H•TS2=THAS2=S],
так что нхs2 включается в S 2 при всех л. Теперь так как
m[HA, 2J=m [S2]=m[S1],
то это означ1 т
H•S2=S2
для всех л при т [S2] + О,1. Это противоречие показывает, что S 1 не существует.
Приложение 6
Верхний предел N3 N1 + N2 объясняется тем обстоятельством, что максимальная возможная «энтропия» для мощности N1+ N1 будет в том случае, когд имеются «белые» шумы такой мощности. При этом энтропийная мощность равна N1 + N2•
Чтобы найти нижний предел, допустим, что имеются два распре
деления в п измерениях р(х;) tf q(x;) с энтропийными мощностями N 1 и N 2• Какую форму должны иметь р и q, чтобы энтропийная мощность Fi3 их взаимодействия
i\
была минимальной?
«Энтропия» для r, которую обозначим Н3, равна
Н3 = - f r(x;) lcg r(x;) dxz.
Надо разыскать минимум этого выражения при наложении сле дующих условий:
Н1 = - fр(х;) lcg р(х;) dx;,
Н 2 = - fq(x;) lcg q(xz) dx;.