< Previous | Contents | Next >
74 ЧАСТЬ I. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ
сывается функцией вероятностей Р(х,у) наличия передаваемого сообщения х и принимаемого сообщения у. Если эта функция из вестна, то тем самым полностью известны свойства системы с точки зрения верности воспроизведения.
Любая оценка верности должна математически соответ ствовать операпии над функцией Р(х, у). Эта операция должна, по крайней мере, давать сравнительную оценку системы. Другими словами, необходимо, чтобы в результате можно было сказать, что согласно нашему критерию верности из двух систем, описываемых функциями Р 1( х, у) и Р2(х, у), либо: 1) первая обеспечивает более высокую верность; 2) вторая обеспечивает более высокую верность, либо 3) они обеспечивают одинаковую верность. Это значит, что критерии верности может быть представлен численно оцениваемой функцией
v[P(x, у)],
аргумент которой изменяется по возможным функциям ероятно стеи Р(х, у). В дальнейшем будем полагать, что меньшим значениям функции оценки соответствует более высокая. верность.
JJ
JJ
JJ
Теперь покажем, что при очень общих и приемлемых допуще ниях функция v[P(x, у)] может быть написана в значительно более специализированной форме, а именно как среднее функции р(х, у), взятое по множеству возможных значении х и у:
v[P(x, у)]= Р(х, у) р(х, у) dx dy.
Чтобы это показать, достаточно предположить: 1) что источник и система являются эргодическими, так что очень длительный «обра зец» сообщения будет с вероятностью, близкой к единице, типи чен для ансамбля, и 2) что оценка является «приемлемой» в том смысле, что возможно на основе наблюдения типичных входных и выходных «образцов» х1 и у1 создать опытную оценку и, если дли тельность этих «образцов)> возрастает, опытная оценка будет с веро ятностью единица сходиться к точной оценке, основанной на пол ном знаниц функции Р(х,у).
Пусть опытная оценка будет р(х, у). Тогда функция р(х, у) при Т оо стремится к постоянной величине почти для всех значе нии (х, у), которые находятся в области высокой вероятности для данной системы
р(х, y)-v[P(x ,У)],
J
J
J
и можно также написать
р(х, у)-+ S Р(х,у) р(х, у) dx dy,
так ка
SS Р(х, у) dx dy = 1.
Это доказывает искомый результат.