< Previous | Contents | Next >
52 ЧАСТЬ 1. СТАНIСТИЧЕСI<АЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ
Более точно, в случае эргодического ансамбля среднее любой ста тистической величины,взятое по ансамблю, равно (с вероятностью 1) среднему, взятому по всем временным смещениям некоторой част ной функции множества 1 ) . Грубо говоря, можно ожидать, что по ме ре течения времею; каждая функция испытает с надлежащей частотой все изменения, претерпеваемые любой из функций множе ства.
Выполняя различные операции с числами или функциями, полу чаем новые числа или функции. Точно так же можно совершать операции над ансамблями для получения новых ансамблей. Допу стим, например, что имеется ансамбль функций f"(t) и оператор Т, который даст для каждой функuии f"(t) результат
g,,(t)=Tf ,,(t).
Для множества g,,(t) мера вероятностей определяется мерой для мно жес'Гва f"(t). Вероятность некоторого подмножества функций g,.(t) равна вероятности подмножества функций f,,(t), которые создают ч.Jiены данного подмножества функций g в резул тате операции Т. Физически это соответствует прохождению ансамбля через неко торое устройство, например фильтр, выпрямитель или модуля тор. Функции на выходе устройства образуют ансамбль g"(t). Устройство или оператор будет называться инвариантным, если сдвиг входной функции приводит просто к сдвигу выходной
фуцкции, т. е. если
означает, что
g,,(t)=Tf,.(t)
g,,(t+t1)=Tf,,(t+t1)
для. всех f,.(t) и всех t1• Легко показать (см. Приложение 5), что ес ли Т - инвариантный оператор, а входной ансамбль стационарный, то выходной ансамбль также стационарный. Подобным же образом, eCJiи входной ансамбль эргодический, то выходной ансамбль бу де:r так е эргодическим.
Фильтр или выпрямитель являются инвариантными устройствами при всех временных-смещениях. Операция модуляции не является инвариантной, так как фаза несущей создает определенную времен ную структуру. Однако модуляция инвариантна при всех сме щениях, кратных пери9,ЦУ несущей.
Существует теснаs,- св зь между инвариантностью физических устройств при временных смещениях и теорией Фурье. Если устрой ство линейно и инвариантно, то анализ методами Фурье является удобцым математическим аппаратом для решения задачи.
1 ) Это и есть знаменитая эргодическая теорема Вирхгофа-Хинчина или, вернее, один из вариантов этоА теоремt,f" См., например, Э. Хопф, «Эрго дическая теорияа, Успехи математичесdх Hafllt, 1·v, вып. 1, 1949. (Прим. ред.)