< Previous | Contents | Next >
186 ЧАСТЬ 11. ТЕОРИ.Я ФЛУI<ТУАЦИОННЫХ ШУМОВ
+
+
+
.... (--п) (-x)k(-y)m
-(2•'• )п/2 Г ( 1) _, 2 ,k+-,-m,-,-----,,----,--- -
- ТО 2 k! k! m! m!
k=O т-0
..
= (2ф0 )n /2Г (; +1) L
k-0
(- {-) k (у - X)k
k! kl
Рk(хx+-yУ)·
(3.10-25)
Представляется весьма вероятным, что этот результат может быть распространен путем аналитического продолжения на поло жительные целые значения п. В (3.10-25) применялись обозначе ния
(сх)0 = 1, (а),,= а (а+ 1)••• (:i+k-1),
pz
Х = 2<Jio' (3.10-26)
а полиномы Лежандра были' обозначены через Р,, (z). Ряд сходится для всех значений Р, Q и ф0 и обрывается, когда п есть четное положительное число.
Если х или у или оба вместе велики сравнительно с единицей, то можно из интеграла для R" получить асимптотическое разложение, полагая Q<P, так что u<x:
2F1(k-+, k--l-; 1; � )·
(3.10-27)
Когда п - четное положительное число, этот ряд обрывается и дает такое же выражение, что и (3.10-25). Когда п - нечетное це лое число, функция 2F1 может быть _выражена через олные эллип тические функции Е и К модуля у';•х-'1°
2F1 (- -1 _, _!_;l;Jl-)=..!_E- (t--'Y)K,
+
+
+
2 2 х 1t 1t х (3.10-28)
2F1 (-½-, {-; 1; ) = К.
Высшие члены могут быть вычислены из
а (1 - z)2 2F1 (а +1, а+ 1; 1; z) =
=(2а-1) (1 +z) 2f 1(a, а; 1; z)+
+(1- а) 2F1(a-l, а -1; 1; z), (3.10-29)