< Previous | Contents | Next >
ГЛ. III. СТАТИСТИЧЕСКИЕ CBOI'ICTBA ФЛУКТУАЦИОННЫХ ШУМОВ 14.9
Другие интегралы можцо получить путем дифференцирования.
Поэтому из
s
s
s
00
dx
s00
dy е_,,2_ у2-2ху cos 'f' +=
<f> cosec <f>
(3.5-3)
о о
S dx J 2
S dx J 2
S dx J 2
получим
00 00
d y x ye-x•- y -
2"ycos 'f' = + cosec2 <f)(l - <f)ctg <f)).
(3.5-4)
о о
s 1
s 1
s 1
Используя такое же преобразование, можем найти
1d d _,,в_у2-2аху- -.,.r;;
.1 х У уе - Т 1+а·
о о
(3.5-5)
Конечно, можно разложить показательную часть в степенной ряд и интегрировать почленно, но это приводит к ряду, который должен быть суммирован в каждом частном случае:
Г
Г
Г
00 00 00
00 00 00
00 00 00
sdx Jdyxnyme_,,2_y2-2axy = 41_}: (-, а)' Г (п+;+I) (m+;+l)·
О О r=O
2
2
2
Если принять-1 <Re (п) <- 1
, -1 <Re(m) <-21
, то ряды
могут быть суммированы при а= 1. Результат, сформулированный в соответствующем месте текста после уравнения (3.8-9), получен путем аналитического продолжения тип.
Тот же метод применим, если пределы будут ±оо. Когда т и п.
целые числа, то получим
dx
dx
dx
dy хпуте_,,2_у2-2ху cos"'
dy хпуте_,,2_у2-2ху cos"'
dy хпуте_,,2_у2-2ху cos"'
4s-оо +sоо =
0 , п+т- нечетное (3.5-6)
1 Г m-t_n+I
·
·
·
1t (
1t (
1t (
= (-)nV - 2 ) F(-п -т· 1--п-т·1-cos') п+m-чепюе
(sinq,)n+m+1 ' ' 2' 2 '
Гипергеометрическая функция может быть также написана в виде
F(-т• --;-; I- -m; sin2 <f> )·
Путем преобразования этого выражения приходим к следующим значениям для интеграла: