< Previous | Contents | Next >
144 ЧАСТЬ 11. ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИОННЫХ ШУМОВ
Наиболее трудной задачей является, повидимому, получение выражения для распределения нулей в случае больших расстоя ний между нулями. Первый метод заключается в расширении условий, приводящих к уравнению (3.4-1), путем добавления условия, чтобы / было положительным в равноотстоящих точках вдоль оси времени между О и -с. Этот метод приводит к трудно вы числимым интегралам; для одной точки между О и -с интеграл имеет вид (3.5-7).
Другой метод исследования состоит в применении способа
«включения и исключения» нулей между О и -с.
Рассмотрим класс кривых /, имеющих нуль при -с=О. Тогда теоретически можно будет найти функции p0('t), p1(r,-c ), P2(r, S,'t), связанные с этим классом, где p0('t) d't -вероятность того, что кри вая имеет нуль в интервале d-c.
p1(r, -с) dr d't- вероятность того, что кривая имеет нули в интервалах d't и dr. •
p2(r, s, -с) dr ds d't - вероятность того, что кривая имеет нули в интервалах d't, ds и dr.
Выражение для р0 (-с) d't дается уравнением (3.4-10). Метод
«включения и исключения» приводит тогда к выражению для Р 0(-с) d-c - вероятности получения нуля при О и нуля в интервале ('t, -c+d't}, но отсутствия нулей между О и 't. Эта вероятность равна
P1(r, 't) dr+2гS
P1(r, 't) dr+2гS
P1(r, 't) dr+2гS
Ро(-с)=Ро(-с)- v1 S-с 1 -с s-с
0 О О
1 "< "< "<
P2(r,
s, -c)drds-
-зтJJJ p3(r , s, t, -с) drds dt+ ...
о u о
(3.4-11)
Выражение (3.i-11) может быть применено для случайных событий, происходящих независимо. Поэтому, если vd't есть вероят ность наступления события в интервале d-c, v постоянно, а события независимы, то получим для р0 , р1, р2, ••• соответственно v, v2, vЗ,... Из (3.4-11) приходим к известному выводу, что P 0('t)= ve- •-c.
+
+
+
+
+
+
Докажем теперь (3.4-1). Вывод основан на обобщении (3.3-5): если у есть случайная кривая, описываемая (3.3-1), то вероят ность того, что у пройдет через нуль в интервале (х1, х1 dx1) с положительной крутизной и через нуль в интервале (х2, х2 dxa) с отрицательной крутизной, равна
s
s
s
- dx1 dx2 d111 J
00 0
d1j21/1,1/2 р(О, 1/1, Х1; О, 112, Х2), (3.4-12)
о -оо
где р(е1, 111, Х1; е2, 1/2, xJ есть функция ПЛОТНОСТИ Вероятностей для четырех случайных переменных