< Previous | Contents | Next >
f42 ЧАСТЬ 11. ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИОJiНЫХ ШУМОВ
Из (3.2-5) видно, что ф, может быть написана в виде
ф, =А COS 't, ='lt Uь +f а),
ф: ф:
ф: ф:
ф: ф:
где 't1=1t, а А есть функция 't, медленно изменяющая я по срав нению с cos 't. Видно, что вблизи 't1 ф, примерно равна - ф0• Так же точно колеблется вблизи нуля, а примерно равна
- ф;. Дифференцирование по 't дает
Ф:=А' cos 't -А sin ,:,
ф:=(А" -А 2) cos 't - 2А' sin 't,
Ф =А -Ао 2 • Фо=Ао,
где А0 и А есть значения А и ее второй производной при 't=O.
Это приводит к
В= (А0 А" -А А ) cos 't - 2А0 А' sin 't,
С=(АА" - А' 2) cos2 't - A0 A +(А -А)2 2.
Покажем, что с+в и С-В суть величины одного порядка. Если мы это сделаем, то r отGюда будет следовать, что М22 - М23 значительно меньше, чем М 22 + М23, так как ф0- ф, , примерно равно 2ф0, а Фо+Ф,,совсем мало. Соответственно будет показано, что М23 почти равно М22•
До сих пор не делалось приближений. Представим теперь мед ленно изменяющуюся функцию А в виде степенного ряда по -с.
Так как для рассматриваемого типа функций ф и ф должны быть равны нулю, то, следовательно:
А= А0 +
't2
2
А"о+ ... ,
A'='tA + ...,
А" =
А"о+т
..• л(о4> +...,
где мы пренебрегали всеми степенями выше второй. Умножение п возведение в квадрат дают
А2 - Ai = 't 2 А0 А ,
А А"- А'2 --ооА А"+2
(А ОА( 4 >_ А "2) - А A"+F,
Ао А"-
АА"о= 2 ... (Ао л<о4> -
А"о2)= F•
Так как (для малых 't) А и А" примерно равны, соответственно
А0 и А , то разность слева мала сравнительно с А0 А , т. е.
1 f / « 1 Ао А 1 •