< Previous | Contents | Next >
138 ЧАСТЬ II. ТЕОРИЯ ФЛУКТУАЦИОННЫХ ШУМОВ
весьм трудной, и, кажется, удовлетворительного решения еще не дано. Здесь будут приведены некоторые выводы, связанные с общей проблемой, которые дают представление о форме рас пределения для области малых промежутков между нулями.
Будет доказано [в разделе, начиная с уравнения (3.4-12) ),
что вероятность прохождения тока шумов/ через нуль в интервале ('r,'t+d't) с отрицательной крутизной, если известно, что / проходит через нуль при 't=O с положительной крутизной, равна
-oJlo
-oJlo
-oJlo
't ( oJ1°,,) 1 \ M 2 22- M 2 23) (• i - ФП- "1• [1 + Н arcctg (-Н)], (3.4-1)
1t
где М22 и М23 - алгебраические дополнения элементов JJ-28 = - ф; и J-L2s = -ф' вматрице
Фо о Ф: Ф
м = | Ф -Ф: | -Ф | о |
Ф -Ф: | о | Фо |
м = | Ф -Ф: | -Ф | о |
Ф -Ф: | о | Фо |
м = | Ф -Ф: | -Ф | о |
Ф -Ф: | о | Фо |
о -Ф -Ф: -Ф:
Н = М2 8 (М:2 -М:з)-''•. (3. -2)
Выбираем О::::= arcctg(-Н}===='II:, значение 1t берется при 't=O, a1t/2 при 't-+OO. Следует помнить, что аргументы функций корреляции представлены в виде индексов, т. е.-ф: в действительности рав о
-Ф; = -ф"('t) = 41t2 J00
о
f 2w(f) cos 21tf'tdf. (3.3-8)
По мере того как 't становится все больше и больше, на пове дение / в момент 't все меньше влияет то обстоятельство, что ток проходит через нуль с положительной крутизной при 't=O. Следовательно, (3.4-1) должно сходиться к вероятности того, что в некотором интервале длительностью d"t, выбранном слу чайно, / пройдет через нуль с отрицательной крутизной. Вследст вие симметрии это равно половине вероятности того, что / пройдет через нуль. Поэтому (3.4-1) должно стремиться, согласно (3.3-10), к
(3.4-3)
при 't--+ оо. Это действительно будет так, ибо М сходится к диаго нальной матрице; а как М 23, так и Н стремятся к нулю при
М2J Н-+ М22-+ - ф ф . Для фильтра нижних частот с граничной частотой fь выражение (3.4-3) дает
(3.4-4)