< Previous | Contents | Next >
128 ЧАСТЬ 11. ТЕdРИЯ ФЛУКТУАЦИОННЫХ ШУМОВ -· и, следовательно, когда N-+ оо, то /(t) будет распределен по нор мальному закону. Чтобы сделать предельный процесс конечным, вначале выберем N и дf такими, что N дf=F, где
J= =
J= =
J= =
w(f) df < вJw(f) df,
F О
а в - некоторая произвольно выбранная малая положительная величина. Положим теперь N--+ оо, а дf -о таким образом, что N дf остается равным F. Тогда
N
А= xf +х +···+хл, = 2w(fn)Лf cos2 (wпt- п) =
1
N F
= w(fn)дf-+ \"w(f) df,
1 U
+ <
+ <
+ <
N (3.1-4)
В = /Х1\а+ · · · l xN\3 = [2w (fл) дf1"1• \cos (wn t - n)I
1
< 4(дf)1 l1 JF
[w(f)J'I, df,
о
где черта над членами обозначает усреднение по . а t поддерживает ся постоянным. Если предположить, -что интегралы не являются расходящимися, то отношение BA -, l1 --+ 0, когда N--+ оо. Следова тельно, можно воспользоваться центральной предельной теорем йl), если w(f)=O при: f>F. Так как F может быть взято сколь угодно большим путем выбора в достаточно ма.1ым, то можно перекрыть сколь угодно большой диапазон частот. По этой причине вместо F записывается оо.
Теперь, когда при помощи центральной предельной теоремы было показано, что распределение для /(t) в виде (2.8-6) схо дится к нормальному закону, остается только найти среднее зна чение и средний квадрат для /(t):
N
/(t) = сп cos(wпt- п) =О,
J =
J =
J =
1
N =
/ 2 (t) = с cos2 (wn t - n)-+ w(f) df ф0 (3.1-5)
1 О
Отсюда получаем плотность вероятностей согласно (3.1-3); та ким образом, оба представления в этом случае приводят к одинако вым результатам. Очевидно, одинаковые результаты будут полу чатьея до тех пор, пока можно применять центральную предель-
1) Раздел 2.10.