< Previous | Contents | Next >
124 ЧАСТЬ 11. ТЕОРИЯ ФЛУl(ТУАЦИОННЫХ ШУМОВ
х - матрица столбцов, полученная путем транспонирования х' Экспонента в выражении (2.9-1) для плотности вероятностей мо жет быть выписана полностью при использовании соотношения
к к
х'М-1 х = ""-'""-' ЩM,six,xs,
r=1 s=i
(2.9-5)
где М, 8- алгебраическое дополнение элемента 1:-'-rs в матрице М.
Иногда между составляющими х имеются линейные зависимост11, так что случайный вектор r ограничен пространством меньше, чем К измерений. В этом случае подходящая форма функции плотности вероятностей может быть получена из последовательности К-мер ных распределений, сходящихся к только что рассмотренному.
Если r1 и r2 - два нормально распределенных случайных век тора, то их сумма r1 + r2 также распределена нормально. Отсюда следует, что сумма любого числа нормально распределенных век торов распределена по нормальному закону.
Характеристическая функция нормального распределения равна
+к к
+к к
+к к
cpeд.[exp(iz1x1+ iz2 x2+ · · +izкхк)] =
= ехр [-
1:-'-rs z, zs]
7= 1 S= 1
(2.9-6)
2.10. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Центральная предельная теорема теории вероятностей утвер ждает, что распределение суммы из N независимых случайных векторов r1 + r2+ ... + rN сходится к нормальному закону при N- оо, если распредеJ1ения векторов r1 , r2, rN удовлетво ряют некоторым общим условиям.
В качестве примера возьмем случай, когда r1, r2, , rN- век- торы двух измерений, причем составляющими rn являются хп и у11 • Не теряя общности, допустим, что
Уп = О.
Составляющие результирующего вектора равны
Х = Х1 + Х2 + ... + XN,
У= У1 + У2 + . · · + Y.v,
(2.10-:-1)
а так как r1 , r2 • - независимые векторы, то моменты второго порядка результирующего вектора равны
p.11 = X2= Xl +х + ... + Х1 ,
!1-22= У2 = у +у + ...+ у}.,
f-L12=XY =Х1У1 +х2У2+ ... +xNYN•
(2.10-2)