< Previous | Contents | Next >
ГЛ. 11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЯ СПЕКТР И ФУНКЦИ.Я КОРРЕЛ.ЯЦИИ 111:
зованный в предыдущем разделе. Эта теорема утверждает, что
+оо +оо
S F1(f)F2(f) df = S G1(t)G2(- t) dt, (2.4-1)
где F1, G1 и F2, G2 суть пары преобразований Фурье
J
J
J
+оо
F(f) = G(t) е- j 2 " 11 dt,
+оо
G(t) = S F(f) еi 2 " 1t df.
(2.4-2)
Эти соотношения могут быть доказаны формальным образом под становкой F1 в виде интеграла, содержащего G1(t), в левую часть уравнения (2.4-1). Изменение порядка интегрирования и исполь зование второй формулы (2.4-2) для замены F2 на G2 дает правуIQ часть уравнения.
Положим теперь G1(t) и G2(t) равными нулю, за исключением интервалов длительностью Т. Эти интервалы и соответствующие: значения G1 и G2 составляют
G1(t) = I(t), О< t < Т,
G2(t) = /(- t + 't), 't - Т < t <'t. (2.4-3)
Из (2.4-3) следует, что F1 (t) есть спектр S(f) для /(/), определяемый уравнением (2.1-2). Так как /(t) вещественно, то из первого урав нения (2.4-2) следует, что
S(- f) = S*(f), (2.4-4)
где звездочка обозначает сопряженный комплекс, и, следовательно,
1S(f)l2 есть четная функция f.
Из первого уравнения (2.4-2) следует также
"t
"t
"t
F2(f) = S /(- t +'t)e-i2itftdt =
"<-Т (2.4-5)-
т
= S J(t) ei21tf(t-,) d=t S*(f)е -i2·Ф
u
s
s
s
Если эти значения G и F подставить в (2.4-1), то получим
+оо Т-"<
J1s(f)\2 e-i 2 " 1 ""df =
l(t)l(t+'t)dt, (2.4-6)
о
где использовано то обстоятельство, что G2(- t) повсюду равна нулю, за исключением интервала -'t<t<T-'t, и положено 't>O..