§ 11.1. Приближение искаженных волн

    В данном параграфе, отправляясь от общих уравнений многоканальной теории столкновений, мы сформулируем основные положения метода искаженных волн − одного из известных приближенных методов теории неупругих процессов в ядерной и атомной физике. Обратимся сначала к уравнениям двухканальной задачи рассеяния, чтобы решить вопрос, поставленный еще
в § 10.2: как, не пользуясь теорией возмущений, рассчитать дифференциальное сечение неупругого рассеяния частиц? Рассматривая в § 10.2 упругое рассеяние частиц, мы исключили из системы связанных уравнений (10.17) канальную функцию неупругого канала u₂. Теперь нас интересует как раз эта функция − точнее, ее асимптотика при больших r. Поэтому исключим из системы уравнений (10.17) канальную функцию u₁:

u2 = (E)V21{ + V12u2}.

(11.1)

Как и (10.19), это соотношение дает лишь формальное решение задачи; по существу, формула (11.1) − это интегральное уравнение для функции u₂(r), способ решения которого следует обсуждать особо. Одним из них может быть способ итераций:

u2 ≈ (E)V21{ + V12V21 + ...}.

(11.2)

    Очевидно, итерационный ряд (11.2) сходится тем лучше, чем слабее взаимодействие V₂₁, связывающее упругий и неупругий каналы. Важно, однако, подчеркнуть, что полученная таким способом канальная функция u₂, удовлетворяет требуемому асимптотическому условию (10.14) независимо от того, с какой точностью вычисляется ряд, стоящий в фигурных скобках соотношения (11.2). Это обеспечивается асимптотическим поведением функции

Грина (E). Подставляя (10.10) в (11.2) мы видим, что при r → ∞ канальная функция u₂(r) имеет вид расходящейся волны:

u2(r)|r→∞ = F21( k2, k1),

(11.3)

где k₂ − импульс рассеянной частицы в канале 2. Функция F₂₁( k₂, k₁) − амплитуда неупругого рассеяния, точное вычисление которой требует точного решения уравнения (11.1):

F21( k2, k1) = −∫(r)V21{ + V12u2}d3r .

(11.4)

Если нормировка искаженных волн (r) и (r), входящих в (11.4), выбрана в соответствии с (10.11):

= + расходящаяся волна, = + сходящаяся волна,

(11.5)

то дифференциальное сечение неупругого рассеяния выражается через амплитуду (11.4) по общей формуле (10.32):

(11.6)

    До сих пор, кроме исходного ограничения двумя связанными каналами, мы не сделали никаких дополнительных приближений; соотношения (11.6) и (11.4) в рамках поставленной двухканальнои задачи являются точными. Приближение искаженных волн для неупругого рассеяния состоит в том, что при вычислении амплитуды (11.4) точная канальная функция u₁ = = + V₁₂u₂ заменяется волновой функцией :

F21( k2, k1) = −∫*(r)V21(r)d3r .

(11.7)

Таким образом, приближение искаженных волн − это теория возмущений по взаимодействию между каналами. Отличие формулы (11.7) от выведенной ранее методами теории возмущений формулы (8.23) в том, что сейчас мы в качестве волновых функций начального и конечного состояний берем не плоские волны, а искажённые волны (r) и (r); согласно (10.11), они строятся с учётом диагональной части взаимодействия между частицей и мишенью:

(11.8)

    Итак, в приближении искаженных волн дифференциальное сечение неупругого рассеяния вычисляется по формуле

(11.9)

где Ф₁(ξ) и Ф₂(ξ) − волновые функции начального и конечного состояний мишени. В частном случае, если пренебречь взаимодействием частицы с мишенью в начальном и конечном состояниях, т.е. произвести замену (r) → , (r) → , мы получим из (11.9) формулы борновского приближения (8.22), (8.23).
    Кажется, что и саму формулу (11.9) тоже легко получить методом, изложенным в § 8.1, если взять в качестве исходных волновых функций начального и конечного состояний частицы не плоские, а искаженные волны. Не ясно, правда, чем бы диктовался при этом выбор функций ψ⁽⁺⁾ и ψ⁽⁻⁾ Отправляясь от общей формулировки многоканальной задачи рассеяния, мы «автоматически», одновременно с выводом самих формул (11.7), (11.9), решили вопрос о выборе искаженных волн ψ⁽⁺⁾ в качестве волновых функций начального состояния и искаженных волн ψ⁽⁻⁾ − конечного состояния. Полученный результат относится не только к теории неупругого рассеяния, он справедлив и в других приложениях метода искаженных волн. Итак, запомним − для описания падающих частиц следует использовать искажённую волну ψ⁽⁺⁾(r) (на бесконечности это «плоская плюс расходящаяся волны»), для описания вылетающих частиц − искаженную волну ψ⁽⁻⁾(r) (на бесконечности «плоская плюс сходящаяся волна»).