§ 9.1. Роль правил сумм в атомной и ядерной физике. «Динамические» правила сумм в теории столкновений

    Правила сумм − это особого рода интегральные соотношения для вероятностей возбуждения многочастичных систем, основанные на свойстве полноты их волновых функций. Особую ценность представляют правила сумм, носящие модельно независимый характер.
    Примером является известное правило сумм для атомного фотоэффекта.
    Пусть ƒ_n0 − сила осциллятора (8.60) электромагнитного Е1 −перехода |0> → |n>. Вычислим сумму значений ƒ_n0 по всем возбужденным состояниям атома, относящимся и к дискретному, и к непрерывному спектру:

(9.1)

Для этого воспользуемся соотношением (8.2), где в качестве оператора _А возьмем гамильтониан изолированного атома:

(9.2)

Учитывая, что ε_n − это энергия возбуждения атома, отсчитываемая от его основного состояния
(ε₀ = 0), заметим, что для любого оператора , взятого в обкладках собственных состояний оператора _А, справедливы тождества:

εn<n||0> = <n|[А,]|0>, εn<0||n> = −<0|[А,]|n>.

(9.3)

Используя их, произведем тождественные преобразования суммы (9.1):

(9.4)

    Таким образом, сумма сил осцилляторов по бесконечному полному набору возбужденных состояний сводится к среднему значению двойного коммутатора [_z,[_А,_z] в основном состоянии атома.
    При вычислении этого среднего воспользуемся тем, что оператор кулоновского взаимодействия электронов с ядром и электронов между собой коммутирует с оператором координат электрона:

остальная часть двойного коммутатора вычисляется явно:

(9.6)

В итоге получаем

(9.7)

Соотношение (9.7) для многоэлектронного атома называется правилом сумм Томаса − Райхе − Куна.
    В качестве другого примера рассмотрим правило сумм для электрических дипольных переходов в ядрах.
    Оператор электрического дипольного момента ядра имеет вид

(9.8)

где r_р и r_n − операторы координат протонов и нейтронов, а е_р и е_n − эффективные заряды нуклонов в Е1 −переходах, которые, как известно из ядерной физики, имеют значения:

Определим силу осциллятора парциального Е1 −перехода в ядре по аналогии с (8.60):

(9.10)

где m − это теперь масса нуклона. Суммирование сил осцилляторов по всем возбужденным состояниям ядра производится в принципе так же, как это было сделано выше для атома. Однако при вычислении двойного коммутатора [D,[,D]], аналогичного тому, что получен в (9.4), появляются существенные различия. Благодаря наличию обменных сил между нуклонами оператор полной потенциальной энергии ядра не коммутирует, вообще говоря, с оператором координат нуклона. Поэтому сумма сил осцилляторов в ядре не сводится, в общем случае, к какому-либо модельно независимому выражению. Лишь если пренебречь обменным взаимодействием, можно получить результат того же типа, что и соотношение (9.7):

(9.11)

    Применяя квантовую теорию столкновений к описанию ядерных реакций или атомных процессов, мы часто обращаемся непосредственно к правилам сумм (9.7) или (9.11), используя предельные соотношения типа (8.61), которые связывают вероятность парциальных переходов в атомах или ядрах под действием налетающих частиц с соответствующими силами осцилляторов. Большое распространение получили также так называемые динамические правила сумм, устанавливаемые для операторов, которые, в отличие от рассмотренных выше операторов дипольного момента атома или ядра, зависят от переданного импульса или других динамических параметров, характеризующих процесс столкновения. Рассмотрим одно из таких соотношений.
    Пусть ρ_n0(x) − переходная плотность, связывающая основное и возбужденное состояния некоторой составной системы. Используя (9.3), легко доказать тождество

(9.12)

где х и у − произвольные точки, а (х) − оператор плотности частиц в точке х:

(9.13)

Если гамильтониан _А имеет вид (9.2) и, в частности, не содержит обменных операторов, то двойной коммутатор в правой части формулы (9.12) вычисляется непосредственно:

(9.14)

и далее

(9.15)

В итоге мы получаем правило сумм для переходных плотностей (T.LDeal, S.Fallieros, 1973):

(9.16)

здесь ρ₀(x) = <0|(x)|0> − функция распределения плотности частиц в основном состоянии системы.
    Из формулы (9.16) вытекает ряд полезных соотношений более частного характера. Рассмотрим переходы, возбуждаемые некоторым возмущением, которому соответствует локальный оператор следующей формы:

(9.17)

(такие операторы, представляющие собой сумму идентичных слагаемых по всем частицам, называются одночастичными). В соответствии с определением (9.13) выразим через оператор плотности частиц:

= ∫ƒ(x)p(x)d3x .

(9.18)

Комбинируя соотношения (9.16) и (9.18), легко получить

(9.19)

    Записанное в импульсном представлении соотношение (9.19) становится правилом сумм для неупругих формфакторов. Выбирая в качестве различные операторы мультипольных моментов системы, можно получить правила сумм для соответствующих мультипольных формфакторов (см. упр. 9.2).