§ 8.1. Борновское приближение как первый порядок теории возмущений. Дифференциальные сечения упругого и неупругого рассеяний

    Переходя от задачи потенциального рассеяния к описанию столкновений частицы с составной системой, мы встречаемся с рядом принципиально новых понятий теории столкновений, таких, как многоканальный характер взаимодействия, обменное рассеяние, эффекты ухода с массовой поверхности. Начиная с простейшего приближенного подхода − теории возмущений, введем самые необходимые термины и обозначения.
    Если, например, электрон сталкивается с атомом или нейтрон с атомным ядром, то будем называть электрон (нейтрон) частицей х, атом (ядро) − мишенью А, а совокупность частицы и мишени − системой (физической системой). Будем пользоваться стандартным обозначением процессов упругого и неупругого рассеяний:

    Вплоть до лекции 16 будем пренебрегать эффектами тождественности частиц и всеми спиновыми эффектами. Будем также считать мишень А бесконечно тяжелой по сравнению с налетающей частицей, т.е. пренебрежем различием между лабораторной системой отсчета и системой центра масс рассматриваемой физической системы.
    Пусть ξ − набор внутренних переменных мишени, r − пространственная координата частицы х;
− гамильтониан свободной мишени, его собственные значения ε_n и собственные функции
Ф_n(ξ) = |n> соответствуют стационарным состояниям мишени:

AФn(ξ) = εnФn(ξ); n = 0, 1, 2,....

(8.2)

Мы выбрали обозначения таким образом, что Ф₀(ξ) − это волновая функция основного состояния мишени; положим также ε_n = 0, т.е. будем отсчитывать энергию возбуждения мишени ε_n от энергии основного состояния. Функции Ф_n ортогональны друг другу и вместе с волновыми функциями непрерывного спектра мишени образуют полный набор:

здесь символ ∑ обозначает суммирование по дискретному спектру и интеграл по непрерывному спектру мишени.
    Пусть − оператор кинетической энергии частицы, а V = V(ξ,r) − оператор ее взаимодействия с мишенью. Тогда полный гамильтониан системы можно записать в виде

= A + + = 0 + ,

(8.5)

где

0 = A +

(8.6)

− гамильтониан системы, состоящей из невзаимодействующих друг с другом частицы и мишени, − оператор возмущения этой системы.
    Вычислим в низшем порядке теории возмущений дифференциальное сечение рассеяния частицы dσ_n/dΩ, соответствующее переходу мишени из основного состояния |0> в некоторое состояние дискретного спектра |n>. Для этого воспользуемся известной формулой (см., напр. [2]) для плотности скорости перехода системы в состояние непрерывного спектра под действием постоянного возмущения:

(8.7)

В общем случае γ − совокупность квантовых чисел, которые вместе с энергией E_f полностью характеризуют конечное состояние невозмущенной системы Ψ_f⁽⁰⁾: {f} = {E_f,γ}. В нашем случае

(8.8)

(8.9)

где k_i и k_f − импульсы (волновые векторы) падающей и рассеянной частиц k_i = p_i / ћ, k_f = p_f / ћ. Энергия конечного состояния E_f определяется квантовым числом n и абсолютной величиной импульса рассеянной частицы:

(8.10)

В силу закона сохранения энергии (E_f = E_i)

(8.11)

Роль дополнительного квантового числа γ в формуле (8.7) играет направление вылета рассеянной частицы; будем характеризовать его единичным вектором _f = k_f / | k_f |. Таким образом, в качестве dγ в (8.7) подставляем элемент телесного угла dΩ = sin θ dθ dφ, где θ и φ − полярный и азимутальный углы рассеяния. Итак, плотность скорости перехода |0> → |n> в интересующем нас случае дается выражением

(8.12)

Легко видеть, что плотность конечных состояний ρ(n,k_f) зависит лишь от одной величины k_f. Ее явный вид зависит от того, как мы выберем нормировку волновой функции конечного состояни(r,ξ); важно, чтобы при этом выполнялось условие полноты:

(8.13)

При выбранной нами нормировке (8.9) ρ(n,k_f) имеет вид

(8.14)

Если же функции (r,ξ) нормировать по-другому, например

(8.15)

или

(8.16)

то соответственно надо изменить и вид   плотности конечных состояний:

(8.17)

(8.18)

    Подчеркнем: выбор нормировочного множителя в функции конечного состояния (r,ξ) не имеет никакого значения для получения правильного окончательного результата, если одновременно с этим − в соответствии с условием (8.13) − устанавливается и явный вид плотности конечных состояний ρ(n,k_f).
    Итак, подставив (8.14) в (8.12), мы получим вероятность, перехода в единицу времени из основного состояния мишени |0) в дискретное состояние |п), отнесенную к единичному телесному углу вьшета рассеянной частицы. Чтобы получить из этой величины, искомое дифференциальное сечение рассеяния dσ_n/dΩ надо поделить ее на плотность потока падающих частиц:

Величину j_in найдем по общей формуле плотности тока вероятности (1.36), подставив в нее волновую функцию начального состояния При выбранной нами нормировке этой функции (8.8)

где v_i − вектор скорости падающих частиц. В итоге получаем

(8.21)

при |n> = |0> формула (8.21) дает дифференциальное сечение упругого, а при |n> ≠ |0> − неупругого рассеяния. Выражение (8.21) удобно переписать в несколько ином виде:

(8.22)

где величину

(8.23)

назовем борновской амплитудой рассеяния частицы на составной системе. В частном случае, когда мишень не имеет внутренних степеней свободы (т.е. (ξ,r) → V(r), p_f → р_i), формулы (8.23) и (8.22) переходят в формулы (2.4) и (1.34) теории потенциального рассеяния.