§ 3.1. Дифференциальное и интегральное уравнения для радиальных волновых функций

    В сферически-симметричном поле орбитальный момент частицы сохраняется. Применительно к задаче рассеяния это означает, что если представить падающий поток частиц как совокупность парциальных волн, соответствующих определенным значениям орбитального момента частицы, то каждая такая волна рассеивается на силовом центре независимо от других парциальных волн. С математической точки зрения это создает упрощение задачи, поскольку, решая волновое уравнение для каждой парциальной волны в отдельности, легко разделить переменные волновой функции и, в отличие от общего случая (1.4) или (1.9), свести дело к одномерным дифференциальным или интегральным уравнениям. С физической точки зрения важнейшим новым для нас аспектом при решении задачи рассеяния методом парциальных волн является вопрос о том, как интерферируют между собой разные парциальные волны, попадая в детектор рассеянных частиц. Рассмотрев взаимное поведение парциальных волн на больших расстояниях от рассеивающего центра, мы увидим, что вклад каждой из них в амплитуду рассеяния (а следовательно, в дифференциальное и полное сечения рассеяния) определяется всего лишь одним вещественным параметром − фазой рассеяния. Величина и энергическая зависимость фаз рассеяния определяются видом потенциальной энергии V(r).
    Перейдем к последовательному изложению метода парциальных волн.
    Из симметрийных соображений вполне ясно, что в случае рассеяния частицы сферически-симметричным потенциалом амплитуда рассеяния /(k,k') зависит лишь от модуля импульса
k = |k| = |k'| (т. е. от энергии частицы Е) и от угла Э между векторами k и k' − угла рассеяния. Волновая функция задачи рассеяния (r) удовлетворяет теперь уравнению

(3.1)

где, в отличие от (1.32), вместо V(r') стоит V(r') и поэтому она тоже зависит лишь от r и угла θ_r между k и r, но не зависит от азимутального угла. Представим (r) в виде разложения по полиномам Лежандра от косинуса угла θ_r:

(3.2)

Функции R_ℓ(r) будем называть радиальными функциями задачи рассеяния. Они, конечно, удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению − радиальному уравнению Шредингера, что и радиальные волновые функции в задаче о связанных состояниях частицы:

(3.3)

Однако, имея дело с задачей рассеяния, где более тонко стоит вопрос о дополнительных условиях к решению волнового уравнения, удобно наряду с дифференциальным уравнением (3.3) построить также и интегральное уравнение для функции R^(r), соответствующее интегральному уравнению (3.1).
    Для этого подставим (3.2) в (3.1), разложим по парциальным волнам плоскую волну [1, с. 271]:

(3.4)

где j_ℓ(kr) − сферическая функция Бесселя, и, умножив правую и левую части уравнения на P_ℓ(cosθ_r), воспользуемся свойством ортонормированности полиномов Лежандра:

(3.5)

В результате

(3.6)

Воспользуемся вьфажением (1.21) для функции Грина, а также известным в теории специальных функций разложением [3]:

(3.7)

где r_< − меньшее, a r_> − большее из значений r и r', и ' − единичные векторы в направлении векторов r и r', а n_λ(x) − сферическая функция Неймана. Подставляя (3.7) в (3.6) и используя известные формулы

(3.8)

(3.9)

получаем интегральное уравнение для радиальных функций R_ℓ(r) в окончательном виде:

(3.10)

где

(3.11)

функция Грина для ℓ-й парциальной волны свободной частицы.
    Рассмотрим асимптотику радиальных функций R_ℓ(r) при больших r. Для этого нам понадобятся асимптотические выражения сферических функций Бесселя и Неймана, входящих в (3.10) и
(3.11) [1, с. 269]:

(3-12)

(3-13)

Подставляя их в (3.11), получаем

(3.14)

Здесь мы ограничились случаем потенциала конечного радиуса. Введем обозначение

(3.15)

и запишем с его помощью асимптотическое выражение (3.14) более компактно:

(3.16)

Подставляя это выражение в (3.2) и снова используя (3.4), получаем

(3.17)

Отсюда видно, что ƒ_ℓ − это коэффициент разложения амплитуды рассеяния по полиномам Лежандра:

(3.18)

Мы будем называть их парциальными амплитудами рассеяния.