Взаимодействие электронов с веществом

©hoo$e ЛÄнgიAge©///₾ÄngიAge® Ekohomei©Å TÅLKiNg ი.ბ.м.ლ.

geo.rf.gd

Взаимодействие электронов с веществом

Удельные потери энергии электронами. Прохождение электронов через вещество отличается от прохождения тяжёлых заряженных частиц. Главная причина - малая масса электрона. Это приводит к относительно большому изменению импульса электрона при каждом его столкновении с частицами среды, что вызывает заметное изменение направления движения электрона и как результат - электромагнитное радиационное излучение.
Удельные потери энергии электронов с кинетической энергией

являются суммой ионизационных и радиационных потерь:.

Ионизационные потери энергии электронами. В области низких энергий электронов (E < 1 МэВ) определяющий вклад в потери энергии дают неупругие ионизационные процессы взаимодействия с атомными электронами, включающие ионизацию атомов. Передаваемая в одном столкновении энергия в среднем очень мала и при движении в веществе потери складываются из очень большого числа таких малых потерь. Статистические флуктуации в ионизационных процессах ведут к разбросу потерь и величин пробегов.

Удельные ионизационные потери энергии электронов

где m_e – масса электрона (m_eс² = 511 кэВ – энергия покоя электрона); T_e – кинетическая энергия электрона; с - скорость света; β = v/c; v - скорость частицы; n_e = N_A ( Z/A)ρ – плотность электронов вещества, где N_A – число Авогадро, Z – заряд ядер вещества среды в единицах заряда позитрона, A – атомный вес среды, ρ – плотность среды; I – средний ионизационный потенциал атомов вещества среды, через которую проходит частица:
I = 13.5Z эВ; r₀ = e²/m_{_e}c² = 2.818·10^-13 см – классический радиус электрона

В нерелятивистской области ионизационные потери быстро уменьшаются при увеличении энергии и достигают минимума при энергии E ≈1.5 МэВ. Далее потери очень медленно (логарифмически) растут с энергией, выходя на плато. Причиной такой зависимости является поляризация среды пролетающим электроном (эффект плотности). В результате ослабляется кулоновское поле релятивистского электрона, и в плотных средах (твёрдые тела, жидкости) потери не растут. В газах рост потерь может достигать нескольких десятков процентов.
При расчётах зависимости потерь учитывается движение обоих электронов после взаимодействия и то, что приведённая масса взаимодействующих электронов равна m_e/2. Принимаются в расчёт также квантовомеханические эффекты тождественности электронов. Относительная величина этих поправок составляет несколько процентов.

Радиационные потери энергии электронов. Ионизационные потери электронов преобладают в области относительно небольших энергий. С ростом энергии электрона E растут радиационные потери. Согласно классической электродинамике, заряд, испытывающий ускорение a, излучает энергию. Мощность излучения W определяется соотношением

Ускорение частицы с зарядом ze и массой m, пролетающей на расстоянии b от атомного ядра c зарядом Ze, можно оценить как

Оно пропорционально произведению заряда ядра на заряд частицы и обратно пропорционально массе частицы. Поэтому энергия, излучаемая при торможении протона, меньше энергии, излученной электроном в том же поле, примерно в (m_p/m_e)² ≈ 3.4·10⁶раз. По этой причине радиационные потери, играющие важную роль в торможении электронов высокой энергии, практически не возникают при прохождении через вещество тяжёлых заряженных частиц.

Удельные радиационные потери энергии электронов

	Е < m_eс² = 511 кэВ,	(2)
	1< Е/m_eс² <137/Z^1/3,	(3)
	Е/m_eс² >137/Z^1/3,	(4)

где m_e – масса электрона (m_eс² = 511 кэВ - энергия покоя электрона); с – скорость света; Z – заряд частицы в единицах заряда позитрона; n_e – плотность электронов в веществе; r₀ = e²/m_ec² = 2.818·10^-13 см - классический радиус электрона

    Критическая энергия. Ионизационные потери электронов преобладают в области относительно небольших энергий. Они растут приблизительно пропорционально логарифму энергии. Поскольку массы покоя электрона и позитрона малы, при каждом столкновении с атомными электронами происходит относительно большое изменение их импульса и в результате – заметное изменение направления движения электрона или позитрона. При этом они приобретают ускорение и, следовательно, начинают терять энергию на электромагнитное излучение. С ростом энергии электронов радиационные потери растут пропорционально энергии , и становятся больше ионизационных потерь. Так для электронов с энергией 100 МэВ радиационные потери в железе и свинце превышают ионизационные соответственно в 3 и 10 раз. Вводится понятие критической энергии E_крит.
    (1) Критическая энергия − это энергия при которой (dE/dx)_рад≈ (dE/dx)_иониз.
    В области энергий, в которой преобладают радиационные потери, энергия электронов экспоненциально убывает с ростом толщины х поглотителя. Скорость этого убывания характеризуют так называемой радиационной длиной L_r.

E = E₀exp(-x/L_r),.

(5)

где E₀ – начальная энергия электрона, E – энергия электрона после прохождения длины x, L_r – радиационная длина.
    Широко используется альтернативное определения критической энергии (определение Росси), которое позволяет лучше описывать электромагнитные ливни.
    (2) Критическая энергия − это энергия при которой ионизационные потери на радиационной длине равны энергии электрона.
    Первое и второе определения эквивалентны в приближении | dE/dx | _рад≈ E/L_r.
Для критической энергии используют аппроксимации

E_крит = 610/(Z + 1.24) ( твердые тела),
E_крит = 710/(Z + 0.92 ) ( газы),

(6)

где E выражается в мегаэлектронвольтах, Z − средний заряд ядер атомов среды. Среднеквадратичное отклонение для твердых тел − 2.2%, для газов − 4.0%.
Критические энергии электронов для различных веществ приведены в таблице 3.

Таблица 3. Критические энергии электронов E_крит и радиационные длины L_r для различных веществ

Вещество	Критическая энергия E_крит, МэВ	Радиационная длина L_r
Вещество	Критическая энергия E_крит, МэВ	г/см²	см
H (жидкость)	278.02	63.04	890.4
Воздух	87.92	36.62	3.04·10⁴
Ar (жидкость)	32.84	19.55	14.00
C (графит)	81.74	42.70	19.32
Al	42.7	24.01	8.897
Fe	21.68	13.84	1.757
Cu	19.42	12.86	1.436
Pb	7.43	6.37	0.5612

График (рис. 1) иллюстрирует соотношение удельных ионизационных и радиационных потерь электронов в меди. Видно, что их равенство имеет место в точке, примерно соответствующей критической энергии электронов в меди.

Рис. 1. Удельные ионизационные и радиационные потери энергии электронов в меди

Рис. 2. Схематическое представление поведения траекторий первоначально параллельного пучка нерелятивистских частиц в веществе. а - альфа-частицы, б - электроны.

Рассеяние электронов. Как мы видели выше, сравнительно небольшая масса электронов существенно сказывается на характере их движения в веществе. При столкновении с атомными электронами и ядрами электроны часто и значительно отклоняются от первоначального направления движения и двигаются по извилистой траектории (рис. 2,б). Таким образом, для электронов процесс многократного рассеяния на атомах вещества должен существенно сказываться на их пробеге.
В элементарной модели рассеяния заряженных частиц в кулоновском поле атомных ядер можно оценить угол рассеяния θ частицы с импульсом p, скоростью v и зарядом ze на неподвижном ядре с зарядом Ze:

Для среднего квадрата угла многократного рассеяния частицы при прохождении ею слоя x вещества с плотностью ядер n можно получить выражение

Если выбрать для оценки в качестве b_max и b_min размеры атома и ядра, то эта формула приобретает вид

(7)

где A − атомная масса вещества (в а.е.м.), pv − в МэВ, x − в г/см², β = v/c.
Логарифм является слабо меняющейся функцией, так что основную роль играет множитель, стоящий перед ним.
Для тяжёлой нерелятивистской заряженной частицы p = mv и, ввиду большой величины её массы m и малости пробега x, средний угол рассеяния невелик, и траектория практически прямолинейна (рис. 6а). Для α-частиц с энергиями 2 и 5 МэВ средний угол многократного рассеяния составляет 0.054 и 0.040 радиан соответственно.
Как показано выше при многократном рассеянии зависимость среднего квадрата угла отклонения <θ²> заряженной частицы от её импульса p, скорости v и пройденного в веществе расстояния x имеет вид

<θ²> ~ x/(pv)².

Поскольку масса электронов мала, то углы их рассеяния, особенно при небольших энергиях, значительно больше, чем у тяжёлых частиц. Так для электронов с энергией 2 и 5 МэВ среднеквадратичный угол многократного рассеяние составляет (<θ²>)^1/2≈ 1.27 радиан и 1.00 радиан соответственно, т.е. примерно в 25 раз больше угла рассеяния альфа-частиц с такой же энергией. Увеличению среднего угла способствует и большая величина пробега x. В результате многократного рассеяния направление движения электрона значительно отклоняется от исходного, и полная длина пути электрона может в 1.5-4 раза превосходить пробег, понимаемый как расстояние, проходимое электроном в направлении первоначального движения.

Рис. 3. Зависимость изменения интенсивности I первоначально моноэнергетического пучка электронов от толщины алюминиевого поглотителя для разных энергий пучка; R_э - экстраполированный пробег для моноэнергетических электронов

На рис. 3 показано, как меняется интенсивность I пучка первоначально моноэнергетичных электронов от длины пути x, пройденного ими в алюминии в направлении первоначального движения, для разных начальных энергий электронов. При больших энергиях (Е >> m_eс² = 511 кэВ) рассеяние сравнительно невелико и основная часть электронов движется в первоначальном направлении. Их интенсивность на начальных отрезках пути практически не меняется, что соответствует участкам плато на кривых поглощения. Это похоже на поведение слаборассеивающихся альфа-частиц (рис. 2). По мере увеличения пройденного расстояния и уменьшения энергии угол рассеяния электронов растёт, и их интенсивность в первоначальном направлении уменьшается. При малых энергиях направления движений электронов приобретают хаотический характер, а распространение пучка - характер диффузии (рис. 2,б).

Экстраполированный пробег электронов. Процессы рассеяния электронов и потери ими энергии, ведущие к уменьшению интенсивности, носят вероятностный характер, что приводит к значительному разбросу величин пробегов отдельных частиц. Для электронов в качестве средней величины пробегов, как правило, используют экстраполированный пробег, т. е. такую толщину поглотителя, при которой продолжение линейно спадающего участка зависимости интенсивности электронного пучка I(x) пересекает уровень нулевой интенсивности (рис. 3).

Экстраполированные пробеги в г/см² электронов с энергией E (МэВ) в алюминии можно определить по формулам:

R_э(Al) = 0.4E^1.4 при Е < 0.8 МэВ,
R_э(Al) = 0.54Е - 0.133 при Е > 0.8 МэВ.

Экстраполированный пробег электронов в веществе с зарядом Z и массовым числом А связан с пробегом в алюминии следующим образом:

R_э(A, Z) = R_э(Al)(Z/A)_Al/(Z/A).

Экстраполированные пробеги электронов в различных веществах приведены в таблице 4.

Таблица 4. Экстраполированные пробеги электронов (в см) в различных веществах в зависимости от их энергии

Вещество	Энергия электронов, МэВ
Вещество	0.05	0.5	5	50	500
Воздух	4.1	160	2·10³	1.7·10⁴	6.3·10⁴
Вода	4.7·10^-3	0.19	2.6	19	78
Алюминий	2·10^-3	0.056	0.95	4.3	8.6
Свинец	5·10^-4	0.026	0.30	1.25	2.5

Рис. 4. Каскадный ливень, вызванный высокоэнергичным электроном

Электроны высоких энергий. Электроны высоких энергий (E > 100 МэВ) образуют в результате последовательных актов испускания γ-квантов (которые рождают затем электрон-позитронные пары) каскадные ливни (рис. 4). Каскадный ливень может быть инициирован и γ-квантом высокой энергии. В зависимости от толщины слоя вещества число электронов в ливне вначале быстро возрастает. Однако по мере развития каскада средняя энергия, приходящаяся на электрон, уменьшается. После того как она уменьшится настолько, что фотоны не смогут рождать электрон-позитронные пары, ливень прекращается. Число частиц в ливне для высокоэнергичных электронов может достигать 10⁶.
Для высокоэнергичных электронов ионизация атомов является лишь одним из способов их взаимодействия со средой. При энергиях электронов Е ≈ 50 МэВ вероятности различных процессов составляют соответственно:

упругие столкновения - 5 %;
ионизация - 35 %;
возбуждение атомов - 60 %.

Взаимодействие позитронов с веществом
    Взаимодействие позитронов в веществе описывается теми же соотношениями, что и для электронов. Необходимо также дополнительно учесть эффекты аннигиляции налетающего позитрона с электроном вещества и исключить из расчётов эффект обмена. Сечение аннигиляции обратно пропорционально скорости позитронов: _анниг ~ 1/v, поэтому позитроны аннигилируют, практически потеряв всю свою энергию.
    При аннигиляции позитрона могут образовываться два и более фотона. Наиболее вероятный процесс − двухфотонная аннигиляция. Этот процесс приводит к образованию монохроматических фотонов. Образование большего числа фотонов, например трех, приводит к непрерывному энергетическому распределению. Однако в связи с тем, что сечение трехфотонной аннигиляции мало, ею можно пренебречь (трехфотонная аннигиляция происходит примерно в 370 раз реже, чем двухфотонная).
    При двухфотонной аннигиляции образуется два γ-кванта с энергиями

(8)

−

+ m_ec²,

(9)

где − полная энергия позитрона (кинетическая + m_ec²), а θ − угол между направлением испускания первого фотона и направлением движения позитрона.
Наиболее вероятно испускание двух фотонов в противоположных направлениях под углами, близкими к 0 и 180° относительно направления движения позитрона. При этом фотон, испускаемый под углом 0°, уносит практически всю энергию. Действительно, полагая θ и >> m_ec², из (8) и (9) получаем:

(10)

(180^o) ≈ m_ec²/2.

(11)

Явление двухфотонной аннигиляции используется в специальных установках для получения монохроматического γ-излучения. При этом учитывается тот факт, что не только замедлившийся, но и быстрый позитрон, двигаясь в веществе, может испытать аннигиляцию, не успев потерять сколько-нибудь значительную часть своей первоначальной энергии. Конечно, сечение этого процесса очень мало по сравнению с процессом аннигиляции медленных позитронов.

Рис. 5. Зависимость энергии аннигиляционного фотона

от угла θ для позитронов с полной энергией

    На рис. 5 представлена зависимость энергии аннигиляционных γ-квантов от угла θ для позитронов с энергией 20 МэВ. Видно, что спектр фотонов в конечном телесном угле не является строго монохроматичным. При увеличении энергии позитрона энергетический разброс уменьшается. Поэтому, выделяя аннигиляционные фотоны, летящие в пределах достаточно малого телесного угла, можно достичь весьма высокой степени монохроматизации γ-излучения.
    Быстрые позитроны, необходимые для создания аннигиляционного излучения, получают, направляя релятивистские электроны с полной энергией на мишень (конвертор) с высоким Z (тяжелые ядра). Тормозное излучение, генерируемое в мишени, образует в этой же мишени электронно-позитронные пары. Позитроны выходят из конвертора в широком телесном угле и имеют полные энергии в интервале от 0 до − 2m_ec². Расположенный после конвертора магнитный анализатор выделяет позитроны, энергии которых заключены в узком интервале. Эти позитроны либо сразу, либо после дополнительного ускорения направляются на аннигиляционную мишень с малым Z (легкие ядра). Образующиеся в этой мишени аннигиляционные γ-кванты и используются далее для проведения эксперимента.
    Поскольку процесс образования аннигиляционных фотонов является двухступенчатым, то выход монохроматического излучения очень мал. Обычно вероятность рождения электроном позитрона в конверторе не превышает 10^-4 – 10^-3, а выход аннигиляционных фотонов на один позитрон приблизительно равен 10^-4. Таким образом, выход аннигиляционных фотонов на один электрон составляет величину не более 10^-8 – 10^-⁷. Поэтому очевидно, что создание интенсивных потоков аннигиляционного γ-излучения возможно лишь на сильноточных электронных ускорителях.

Задачи 10−21

05.09.2018