< Previous | Contents | Next >
82 ЧАСТЬ I. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПЕРЕдАЧИ СИГНАЛОВ
Если Р; иррациональны, они могут быть апроксимированы правиль ными дробями и то же самое выражение должно сохраниться при предположении о непрерывности. Таким образом, это выражение справедливо в общем случае. Выбор коэффициента К производится из соображений удобства, он определяет единицу измерений.
Пр и л"о жrе:н и е 3
Предположим, что источник является эргодическим, так что применим сильный закон больших чисел. Таким образом, число пересечений данной траектории Pii в последовательности большой' длины N приблизительно пропорционально вероятности нахожде ния в состоянии i (скажем, Pi) и последующего выбора этой траекто рии, т. е. P;pijN• Если N достаточно велико, то вероятность ошибки
±8 при этом меньше е, так что для всех случаев за исключением
группы малой вероятности действительные числа заключены в пре д ах
Следовательно, почти все
Р=
и loip ограничен величиной
1,
последовател
последовател
последовател
п
п
п
Pii
Pii
Pii
(P;P/j±d
(P;P/j±d
(P;P/j±d
ьности
)N
1'
имеют вероятноtть
или
11,Р = (P;P;i±8) log p1 j,
l 'oip - P1P1j log P;i 1 <1j.
Это доказывает теорему 3.
Теорема 4 немедленно следует отсюда по вычислении верхнего и нижnего пределов для n(q), основанных на диапазоне возможных значений р в теореме 3.
В смешанном (не эргодическом) случае, если
L= P_1L1,
а «энтропии» составляющих следующее предложение.
Теорема
суть Н1 -:;;;,. Н 2 -:;;;,. ••• >Нп, справедливо
lim log n(q)
N-+oo N
s-t s
s-t s
s-t s
есть убывающая ступенчатая функция
<p( q)= H 8 в интервале а.1< q < 1:а.;,
t t
