В 1954 году Янг и Миллс решили попробовать получить ρ-мезон также в качестве калибровочного поля. ρ-мезоны были тогда только что открыты, и представлялось, что они могут оказаться искомыми квантами сильного взаимодействия. Подобно рассмотренному случаю с фотоном, напишем лагранжиан для свободного нуклонного поля, где нуклон есть спинор группы изотопических преобразований SU(2) с компонентами +1/2 (протон) и -1/2 (нейтрон):
L0 = |
(3.23) |
Этот лагранжиан инвариантен относительно глобального калибровочного преобразования в изотопическом пространстве
N(x) = 
N(x),
где 
= (
1, 2,
3) - три произвольные вещественные фазы.
Потребуем теперь инвариантности лагранжиана
относительно подобного, но локального
калибровочного преобразования в изотопическом
пространстве, когда является функцией x:
|
(3.24) |
Но, как и в предыдущем случае, L0 неинвариантен относительно подобного локального калибровочного преобразования:
L'0 = |
(3.25) |
N(x)
Для того, чтобы убрать член, нарушающий
калибровочную инвариантность, введем изотриплет
векторных полей 
с калибровочным преобразованием
|
(3.26) |
U
,где U = 
. Взаимодействие этого изовекторного поля
с нуклоном зададим лагранжианом
N(x)
N(x),
где - константа связи или константа
взаимодействия нуклонов с 
-мезонами.
Массу этого поля мы ввести не можем, поскольку
очевидным образом массовый член в лагранжиане 
неинвариантен относительно выбранного
калибровочного преобразования для поля . Запишем окончательное выражение
для лагранжиана, инвариантного относительно
локальных калибровочных преобразований
неабелевой группы SU(2)
L = |
(3.27) |
где 
- свободное безмассовое ρ-мезонное
поле. Оно инвариантно относительно
калибровочных преобразований U
'U = . Подробнее выпишем тензор
свободного ρ-мезонного поля
= 
k
, ([i, j]
= 2i
ijkk,
i, j, k = 1, 2, 3):
|
(3.23) |
- 
) - 2
или
= (
- 
) - [, ]
и убедимся, что это выражение ковариантным образом преобразуется при калибровочным преобразовании над полем ρ:
U |
(3.23) |
Окончательно
U |
(3.23) |
Важно отметить здесь
особенность неабелева векторного поля - оно
оказывается самодействующим, т.е. в лагранжиане в
члене (-1/4)|
|2 появляются члены не
только билинейные по полю ρ,
как это получалось в случае (абелева)
электромагнитного поля, но и члены 3- и 4- линейные
по полю ρ вида
ρν ρμ ∂νρμ
и 
.
Этот формализм был обобщен на SU(3)f,
где был построен лагранжиан, описывающий барионы
октета. Требование локальной калибровочной
инвариантности относительно группы ароматов SU(3)f
приводит к появлению октета безмассовых
векторных мезонов с квантовыми числами
знакомого нам октета мезонов 1-.
К сожалению, на этом пути не удалось
построить теории сильных взаимодействий с
векторными мезонами в качестве квантов сильного
поля. Но был создан формализм, позволивший решить
эту задачу уже не в пространстве ароматов с
группой калибровочной симметрии SU(3)f, а в
пространстве цветов с группой калибровочной
симметрии SU(3)C, где квантами поля оказались
безмассовые векторные бозоны, несущие цвет -
глюоны.
