Спины и четности возбужденных ядер

    Модель оболочек успешно объясняет не только величины спинов и четностей ядер в основных состояниях, но и во многих случаях помогает понять природу ядерных возбужденных состояний.

Рис. 12.1. Спектр ядра 17О

    Основное состояние ¹⁷О соответствует одному нейтрону над замкнутой оболочкой:

Переходы неспаренного нейтрона с подоболочки 1d _5/2 на более высокие подоболочки 2s_1/2 и 1d_3/2 соответствуют возбужденным состояниям 1/2⁺ и 3/2⁺ в спектре ¹⁷О.

    Разность энергий 3/2⁺ и 5/2⁺ уровней в спектре ¹⁷О является следствием спин-орбитального расщепления. Константу а в (11.1) можно оценить из этой разности энергий.

Из формулы (11.3) разность энергий состояний нуклона с j = l + 1/2 = 5/2 и j = l -1/2 = 3/2 находим

Следовательно a-2 МэВ

    Как видно из приведенного спектра ядра ¹⁷О, только некоторые из возбужденных состояний этого ядра можно считать одночастичными возбуждениями. Природа других возбужденных состояний этого же ядра более сложная. Например, низший уровень 1/2 ^- с энергией возбуждения 3.06 МэВ является результатом перехода одного нуклона из замкнутой подоболочки 1р_1/2 в следующую 1d_5/2, причем два нуклона в 1d_5/2 состояниях имеют суммарный момент 0. Спин и четность ядра при этом будут определены полным моментом “дырки” в 1р_1/2 подоболочке и орбитальным моментом, т.е. составлять J^P = 1/2 ^-.

    В данной задачу удобно принять основное состояние ядра ¹²С за физический вакуум: |0> = |1s_1/2>⁴ |1p_3/2>⁸ , тогда переход нуклона в следующую подоболочку эквивалентен рождению частично- дырочной пары над вакуумным состоянием. Спин такого возбужденного состояния равен векторной сумме моментов частицы и “дырки”:

Низшим по энергии возбужденным состоянием ядра ¹²С является состояние J^P = 2⁺, Е = 4.44 МэВ.
При энергии 12.7 МэВ находится состояние с квантовыми числами J^P = 1⁺. Столь большое различие в энергиях частично-дырочных возбуждений (12.2) является следствием двух причин. Во-первых, частица и дырка взаимодействуют между собой и энергия их взаимодействия зависит от их суммарного момента (спина состояния). Во-вторых, частично-дырочное представление низших возбужденных состояний ядер является приближенным, волновые функции реальных состояний более сложные.

    Рассмотрим четность частично-дырочных возбужденных состояний. Поскольку четность основного состояния ядра ¹²С (принятого за физический вакуум) положительна, четность возбужденных состояний равно произведению четности частицы и “дырки”. В данном примере и та и другая имеют отрицательную четность, что дает в итоге положительную четность возбужденного состояния.

    Принимая основное состояние ¹⁶O за физический вакуум, имеем для возбужденного состояния. возникающего вследствие перехода нуклона из 1р_1/2 в следующую подоболочку 1d_5/2:

. P = (-1)(+1) = -1.

Четности этих возбужденных состояний отрицательны, т.к. являются произведениями отрицательной четности”дырки” и положительной четности частицы. В спектре энергий ядра ¹⁶O при Е = 6.13 МэВ присутствует 3^- состояние и при Е = 8.87 МэВ - 2^- состояние. Важно отметить, что низшим по энергии возбужденным состоянием ядра ¹⁶O является состояние 0⁺, которое невозможно интерпретировать в рамках одночастичной модели оболочек.

    Рассмотрим изоспины возбужденных состояний ядер.
    В случае одночастичных возбуждений  переходы нуклона на более высокие подоболочки в той же оболочке не меняют изоспин ядра. Для частично-дырочных возбуждений   возможны два значения изоспина возникающего возбужденного состояния, соответствующие двум значениям векторной суммы изоспинов квазичастиц:
=  +  = 0,. Низшим по энергии возбуждения оказываются состояния с изоспином 0. Состояния с более высокой энергий возбуждения могут иметь изоспин 1, причем проекция изоспина остается равной проекции изоспина для основного состояния ядра - она определена числом протонов и нейтронов данного ядра. Для ядра ¹²С, например, низшее по энергии возбужденное состояние с изоспином 1 имеет характеристики J^P = 1⁺, Е = 15.11 МэВ. Конфигурация этого состояния частично-дырочная, она дана в (12.2).
    Из этого следует важный вывод: остаточные взаимодействия между квазичастицами зависят от изоспина.
   Изложение основ одночастичной модели оболочек (ОМО) в разделе 3 ( как и в любой другой теории) было бы неполным, если бы не были указаны границы ее применения. Понимание того, в каких случаях простейшая версия ОМО, изложенная выше, применима, а в каких случаях не применима, возникает при изучении характеристик всех легких ядер и сравнении для них результатов ОМО с экспериментом. Наиболее показательный случай расхождения предсказаний ОМО с потенциалом (11.1) с экспериментом - спины нечетных ядер с А = 19, 21 и 23. В этих ядрах оболочка с = 2 является частично заполненной. Например, для ядра ¹⁹F

Можно было бы предположить, что спин основного состояния этого ядра должен быть равен моменту неспаренного протона, т.е. составлять J^P = 5/2+. Однако экспериментальное значение J^P = 1/2⁺. Это и подобные ему расхождения в предсказаниях простой ОМО и эксперимента позволили разобраться в причинах того, что для некоторых ядер ОМО в том виде, который изложен на семинаре 11, дает адекватное описание опытных данных, а в некоторых случаях ее предсказания неверны. Суть дела состоит в том, что ОМО в предыдущем изложении годилось только для сферических ядер или ядер, близких к сферическим. Использованный выше потенциал (11.1) соответствовал сферическому распределению нуклонов в ядре. Однако большая часть ядер сферическими не является, хотя и обладает осью симметрии. Для этих ядер одночастичный потенциал зависит от угла между радиус-вектором квазичастицы и осью симметрии:

Оператор Гамильтона с потенциалом (12.3) продолжает коммутировать с проекцией момента на выделенную ось (ось симметрии), но не коммутирует с оператором квадрата полного момента. Это означает, что величина J уже не является “хорошим” квантовым числом, однако ее проекция является. Решения у.Ш. для энергий зависят от модуля проекции момента |J_z| = K. Эта величина К является спиновой характеристикой уровня.  Деформация частично снимает вырождение по проекции момента. Уровни энергии (см. схему в тексте семинара 11) расщепляются в потенциале (12.3) на несколько уровней. На каждом из них может находиться не более 4 нуклонов: два протона и два нейтрона с противоположными проекциями момента на ось симметрии ядра. Рассмотрим ядро ¹⁹F. Добавление двух нейтронов к дважды магическому (сферическому) ядру ¹⁶O делает ядро ¹⁸O вытянутым. В деформированном потенциале этого ядра находится протон. Уровень 1d_5/2 в деформированном потенциале расщепляется на три уровня, соответствующих трем значениям модуля проекции вектора момента j = 5/2: K = 1/2, 3/2, 5/2. Низшим по энергии в вытянутом ядре будет состояние с K = 1/2 Эта величина и определяется в эксперименте для ядра ¹⁹F как значение спина ядра.

Модель оболочек для средних и тяжелых ядер. Роль кулоновского взаимодействия

    Во всех предыдущих расчетах и комментариях не был учтен тот факт, что на протоны ядра помимо сильного взаимодействия (которое было приближенно учтено введением самосогласованного потенциала со спин-орбитальным членом), действует также кулоновское отталкивание со стороны других протонов ядра. Роль этого члена во взаимодействии была сравнительно невелика для легких ядер, но для средних и тяжелых ядер влияние кулоновского потенциала влияет на ход заполнения подоболочек и оболочек. Иными словами, если нейтроны ядра можно считать находящимися в потенциале (11.1), то для протонов в это выражение должен быть добавлен член, характеризующий кулоновское отталкивание протонов:

Решения у.Ш. для энергий протонов в потенциале (11.1) + (12.4) выше, чем решения у.Ш. для нейтронов в потенциале (11.1). Эта разность растет с числом протонов в ядре. Соответствующая схема заполнения оболочек и подоболочек для нейтронов и протонов показана на схеме.

Рис. 12.2

    Поскольку протонные уровни выше нейтронных, средние и тяжелые ядра с заполненными подоболочками имеют больше нейтронов, чем протонов. Максимальная энергия нуклонной конфигурации, соответствующая ситуации, когда все уровни выше этой энергии не заполнены, а ниже – заполнены, называется энергией Ферми. Для ядра ⁴⁸Са, например, энергия Ферми соответствует энергии нейтронов в полностью заполненной нейтронами подоболочке (1f_7/2)⁸.
    Это ядро обладает особой устойчивостью и является первым дважды магическим ядром с превышением числа нейтронов над числом протонов. Таким образом, магическое число 28 – следствие влияния кулоновского потенциала на заполнение ядерных подоболочек.

Спин и четность  четно-четного ядра ⁵⁸Ni равны 0⁺. Для того, чтобы убедиться в правильности построенной конфигурации, рассмотрим изотопы никеля с А = 57 и А = 59, т.е. с одной нейтронной «дыркой» и одной нейтронной частицей относительно основного состояния изотопа с А = 58. Согласно построенной схеме, эти изотопы должны иметь, соответственно, один нейтрон в 2р_3/2 подоболочке (А = 57) или три нейтрона в той же подоболочке (А = 59). В обоих случаях спин и четность изотопов никеля с А = 57 и А = 59 должен составить 3/2^-, что соответствует экспериментальным данным. Ядро ⁶⁰ Ni, в отличие от ⁵⁸ Ni, имеет полностью заполненную (4 нейтрона) нейтронную подоболочку (2p_3/2)⁴ .

    Для ядер с числом нуклонов А > 40 заполнение протонных и нейтронных уровней следует проводить раздельно. Как и в предыдущей задаче, будем проводить заполнение тех подоболочек, которые выше по энергии, чем уровни кора - в данном случае удобно использовать схему предыдущей задачи и считать кором ядро ⁶⁰ Ni. Используем схему рис.12.1:
.
В ядре циркония-90 полностью заполнены по протонам и нейтронам 4 оболочки с главными квантовыми числами = 0, 1, 2, 3. Последним из полностью заполненных квантовых состояний в этом ядре является нейтронная подоболочка с = 4, орбитальным моментом нейтронов l = 4 и полными моментами нейтронов j = l + 1/2 = 9/2. На этой подоболочке может находиться столько нуклонов, сколько разных проекций имеет полный момент нейтрона 9/2, т.е. 10 = 2j + 1.

    Ядро ниобия с А = 91 в основном состоянии имеет один протон сверх магического ядра  ⁹⁰Zr 1g_9/2. Спин и четность ядра ⁹¹Nb в основном состоянии определяются полным моментом и значением орбитального момента неспаренного протона, отсюда J^P = (9/2)⁺ что совпадает с опытными данными.

    Указанные ядра в основном состоянии представляют собой, соответственно, протонную и нейтронную «дырки» в основном состоянии ядра  ⁹⁰Zr (см. задачу 12.1). Основному состоянию «дырочного»   ядра ⁸⁹Y соответствует протонная дырка в «валентной» подоболочке 2р_1/2 . Отсюда спин и четность основного состояния ⁸⁹Y  J^P = (1/2)^-.  Для ядра ⁸⁹Zr  спин и четность определены моментом и четностью нейтрона в  подоболочке1g_9/2. Поэтому для этого ядра J^P = (9/2)⁺. Оба результата подтверждаются экспериментальными данными.

Коллективные колебания ядерной материи

    Одночастичная модель оболочек (ОМО) частично объясняет спины и четности уровней в спектрах ядерных возбуждений, но интерпретация многих свойств возбужденных ядер остается за пределами ее возможностей. К таким свойствам относятся, например, спектры возбуждения многих четно- четных ядер. В спектрах возбуждения ядер присутствуют как те возбужденные состояния, которые можно считать результатов перехода одной или нескольких квазичастиц с одного уровня на другой, так и те, которые можно интерпретировать как коллективные возбуждения ядра как целого. К этому типу ядерных возбужденных состояний относятся те, которые возникают вследствие коллективных колебаний ядерной “капли” как целого. Эти колебания проявляются, например, в изменениях формы ядерной поверхности. Наиболее существенными среди колебаний формы являются квадрупольные колебания. Теоретическое изучение коллективных колебаний показывает, что этот тип ядерных возбуждений можно рассматривать как результат поглощения ядром кванта коллективных колебаний – фонона. Спектр энергий, соответствующий поглощению ядром одного, двух и т.д. фононов в первом приближении эквидистантный (напомним, что решение задачи о квантовом осцилляторе всегда приводит к эквидистантному спектру энергий). В спектрах низкоэнегетических возбужденных состояний большинства сферических (и близких к сферическим) ядер видны уровни, соответствующие поглощению одного и двух квадрупольных фононов. Например, спектры низших возбужденных состояний четно-четных ядер ⁶⁰ Ni и ¹⁰⁶Pd являются типичными примерами одно- и двухфононных квадрупольных колебаний.

Рис.12.3. Колебательные спектры ядер

Поглощению одного фонона с моментом 2⁺ соответствуют низшие возбужденные состояния этих ядер. Последовательное поглошение двух квадрупольных фононов могло бы дать в результате спин возбужденных состояний . Однако правила отбора исключают значения 1 и 3, что дает для спинов возбужденных состояний с двумя квадрупольными фононами значения 0, 2, 4, которые и наблюдаются экспериментально. Энергии возбуждения для коллективных гармонических колебаний с моментом фонона равны

Для квадрупольных фононов = 2, а проекция спина фонона на выделенную ось пробегает 5 значений. Поэтому спектр квадрупольных гармонических колебаний имеет вид E_N,=2 = (N + 5/2). Энергия одного кванта коллективных гармонических колебаний зависит от характеристик данного ядра. Энергия кванта тем выше, чем больше так называемая “жесткость” ядра. Для ядер с замкнутыми оболочками или подоболочками “жесткость” и, соответственно, энергия кванта выше, чем для ядер с незамкнутыми валентными оболочками. На приведенном выше примере ядро ⁶⁰Ni является “магическим” по протонам (Z = 28). Валентная нейтронная подоболочка этого ядра также замкнута и соответствует (2p_3/2)⁴ конфигурации. Поэтому и энергии квадрупольных фононных возбуждений этого ядра примерно вдвое выше, чем у ядра ¹⁰⁶Pd.

Вращательные спектры ядер

Рис. 12.4

    Несферические ядра, помимо колебательных уровней в спектре возбуждения и уровней, связанных с переходами нуклонов ядра на более высокие оболочки, имеют также уровни в спектрах возбуждения, которые имеют вращательную природу.
    Уровни спектров возбуждения, возникающие вследствие вращения несферических ядер, имеют ряд характерных особенностей; последовательность таких уровней часто называют вращательной полосой. Пример вращательной полосы для четно- четного ядра ¹⁷⁰Hf показан на рис.12.4.
    Энергии уровней вращательной полосы можно получить в результате решения уравнения Шредингера с гамильтонианом, отражающим вращательные степени свободы ядра. Следует подчеркнуть, что, согласно квантовой теории, вращательные степени свободы присущи исключительно несферическим объектам. При обсуждении квадрупольных моментов ядер было показано, что вытянутые ядра имеют положительный квадрупольный момент, а сплюснутые – отрицательный. Прямое измерение электрических квадрупольных моментов возможно лишь для ядер, у которых спин больше или равен 1. Однако многие четно-четные ядра, имеющие спин и четность 0⁺, являются деформированными, и их деформация проявляется в спектрах их возбужденных состояний в виде вращательных полос. Вид вращательного гамильтониана легко получить из принципа соответствия классических и квантовых величин. В классической физике энергия тела с моментом инерции и моментом количества движения J равна E_rot = J²/(2). В квантовой физике величине J² соответствует оператор квадрата момента, действующий на волновую функцию ядра. Поскольку в принятой системе обозначений спин ядра и частиц измеряется в единицах ,

Формула, связывающая энергию вращательного уровня и спина состояния, приближенно описывает ход уровней во вращательной полосе.

    В табл. 12.1 даны также интервалы энергий Е между данным уровнем и низшим по энергии. Соотношение для интервалов энергий уровней вращательной полосы, спинов уровней и соответствующих этим состояниям моментов инерции ядра может быть получено из (12.6):

Таблица 12.1. Спины, энергии, интервалы энергий и моменты инерции состояний вращательной полосы ядра ¹⁷⁰Hf.

Обычно в физике ядра рассчитывают не момент инерции ядра в том или ином состоянии, а величину = 2/² в единицах МэВ^-1. Результаты расчета этой величины для пяти возбужденных состояний ядра ¹⁷⁰Hf приведены в четвертой строке таблицы.
    Расчет показывает, что момент инерции ядра растет с увеличением момента количества движения и, соответственно, угловой частоты вращения. Этот результат хорошо понятен на основе капельной модели ядра: момент инерции капли растет с увеличением углового момента вращения.
    Важным и интересным фактом, который можно легко продемонстрировать на этом примере, является то, что полученные в расчете моменты инерции как минимум вдвое меньше, чем момент инерции твердотельного ротатора с такой же массой. Нижний предел величины , пропорциональной моменту инерции, можно получить по формуле момента инерции сферы радиуса R (здесь удобно использовать константу конверсии):

 = 2MR² / 5;

Таким образом, проведенный несложный расчет доказывает, что ядро в низших возбужденных состояниях имеет значения момента инерции, составляющие не более 50% момента инерции твердого ротатора с той же массой. Часть нуклонов ядра оказывается не участвующей во вращательном движении вследствие эффекта спаривания нуклонов, приводящего к сверхтекучим свойствам ядер в основном и низших возбужденных состояниях. Разрыв нуклонных пар, происходящий при очень высоких моментах вращения ядер, проявляется в скачкообразном росте момента инерции ядра до величин близких к полученной выше твердотельной оценке. Этот эффект (т.н. бекбендинг = backbending) хорошо изучен в последние 20 лет на ускорителях тяжелых ионов. Исследование спектров возбуждения ядер проводится, главным образом, путем измерения энергий гамма-квантов, испускаемых ядром при переходе с более высокого уровня на более низкий по энергии.