Семинар 10*

На схемах спектров ядер указывают энергии уровней ядра в МэВ или в кэВ, а также спин и четность состояний. На современных схемах указывают также изоспин состояний. (Поскольку на схемах спектров даны энергии возбуждения уровней, энергия основного состояния принимается за начало отсчета). В области энергий возбуждения E < E_отд – т.е. при энергиях, меньших, чем энергия отделения нуклона, спектры ядер – дискретные. Это означает, что ширины спектральных уровней меньше расстояния между уровнями Г <

E.
Спонтанные переходы ядер из более высоких возбужденных состояний дискретного спектра ядра в более низкие ( в том числе в основное состояние) реализуются, как правило, путем излучения

-квантов, т.е. за счет электромагнитных взаимодействий. В области больших энергий возбуждения, когда E > E_отд, ширины уровней возбужденного ядра резко возрастают. Дело в том, что в отделении нуклона от ядра главную роль играют ядерные силы- т.е. сильные взаимодействия. Вероятность сильных взаимодействий на порядки выше вероятности электромагнитных, поэтому ширины распада по сильным взаимодействиям велики и уровни ядерных спектров в области E > E_отд перекрываются – спектр ядра становится непрерывным. Главным механизмом распада высоковозбужденных состояний с этой области энергий является испускание нуклонов и кластеров (

-частиц и дейтронов). Излучение

-квантов в этой области высоких энергий возбуждения E > E_отд происходит с меньшей вероятностью, чем испускание нуклонов. Возбужденное ядро имеет, как правило, несколько путей, или каналов распада. На рис. 10.1 показан спектр ядра С-12. Спектр выше 16 МэВ – непрерывный.

Электромагнитные моменты нуклонов и ядер

Электромагнитные моменты определяют потенциал взаимодействия ядра или частиц с внешними электрическими и магнитными полями:

Здесь Ze - заряд ядра, D - электрический дипольный момент ядра, Q - квадрупольный момент ядра,
μ - магнитный дипольный момент. Более высокие по тензорной размерности члены потенциала взаимодействия (2.18) дают пренебрежимо малый вклад во взаимодействие.
Электрический дипольный момент ядер в основном состоянии равен нулю (с точностью до малых членов, связанных со слабыми взаимодействиями в ядрах). Равенство нулю момента D_i является следствием четности квадрата волновой функции основного состояния ядра:

Квадрат волновой функции основного состояния ядра является четной функцией координат, z - нечетная функция. Интеграл по трехмерному пространству от произведения четной и нечетной функций всегда равен 0.
(Квадрат ψ-функции имеет положительную четность в случае, если сама ψ-функция имеет определенную четность(+ или -). Это справедливо для вкладов в ψ-функцию от сильных и электромагнитных взаимодействий, сохряняющих четность. Малые добавки в ψ-функцию от слабых (не сохраняющих четность) взаимодействий могут дать отклонение от нуля для дипольных моментов ядер и частиц. Роль этих вкладов представляет большой интерес для современной физики, поэтому попытки измерить дипольный момент нейтрона не прекращаются.)
Квадрупольный электрический момент ядра в системе координат, связанной с ядром (внутренний квадрупольный момент)

Поскольку среднее значение физической величины в квантовой механике, по определению,

внутренний квадрупольный момент, с точностью до констант, есть разность среднего значения величины 2z² и среднего значения суммы квадратов x² и y². Поэтому для сферических ядер Q = 0, для вытянутых относительно внутренней оси вращения z Q > 0 , а для сплюснутых Q < 0.

Магнитный дипольный момент частицы является оператором в пространстве волновых функций частиц и связан с операторами орбитального и спинового моментов соотношением

Здесь m - масса частицы, e

/2mc - магнетон.(В магнетоне Бора для электронов m = m_e , в ядерном магнетоне m = m_p)
Гиромагнитные отношения для электрона, протона и нейтрона приведены в таблице

В системе координат, связанной с частицей, орбитальное движение отсутствует. Значение магнитного момента определяется как диагональный матричный элемент оператора (10.4) в состоянии с максимальным значением проекции момента на ось z. Действие оператора проекции спина дает

Таким образом, для всех указанных частиц значение магнитного дипольного момента в магнетонах равно половине гиромагнитного отношения g_s. Принято указывать значения магнитных моментов нуклонов и ядер в ядерных магнетонах

Наблюдаемое значение магнитного момента ядра ( в ядерных магнетонах) пропорционально значению спина ядра.. Коэффициент пропорциональности называется ядерным гиромагнитным отношением:

Одним из методов измерения величины ядерного спина и магнитного момента ядра является исследование сверхтонкого расщепления линий атома.

Полный момент системы электронная оболочка-ядро складывается из момента электронной оболочки I и спина ядра J. Поскольку величина магнитного поля, создаваемого электронами в области ядра, пропорциональна I, а магнитный момент ядра свяан с J (10.7), потенциал взаимодействия является функцией скалярного произведения этих векторов:

Этот потенциал взаимодействия, входящий в полный гамильтониан атома, ответственен за тот экспериментальный факт, что состояния с разными значениями скалярного произведения векторов I и J имеют разные сдвиги в энергиях атомных уровней. Поскольку величина сдвига зависит от ядерного магнетона , она мала по сравнению с величиной тонкого расщепления атомных уровней, которые вызваны взаимодействием магнитного момента электронной оболочки с внешним магнитным полем. Поэтому расщепление атомных уровней, возникающее благодаря взаимодействию магнитного момента ядра с магнитным полем атома, называется сверхтонким. Число состояний сверхтонкого расщепления равно числу разных значений скалярного произведения векторов. Определим эту величину через квадраты квантовых векторов F, J, I:

Квадраты векторов F, J, I являются собственными операторами волновой функции атома, представляющей собой произведение волновых функций ядра и электронной оболочки

_a =

_N·

Таким образом, число уровней сверхтонкого расщепления равно числу разных значений вектора F, который может принимать следующие значения.

Число разных значений вектора F равно 2К + 1, где К - наименьший из векторов J, I.

Модели атомных ядер

Свойства атомных ядер (кратко охарактеризованные в предыдущих разделах) оказалось невозможным интерпретировать в рамках единого теоретического подхода. Эта трудность связана, в первую очередь, с тем фактом, что в ядре действуют сильные взаимодействия, для которых до сих пор не существует последовательной теории, способной количественно воспроизвести свойства систем, связанных этими силами. Напомним, что для систем, связанных электромагнитными взаимодействиями, такая теория – квантовая электродинамика – существует. Поэтому свойства ядер оказывается возможным объяснить только в рамках моделей ядра.
Рассмотрим несколько наиболее важных моделей ядра.

Модель заряженной жидкой капли

Экспериментально установленное распределение удельных энергий связи ядер по значениям чисел нуклонов в ядре А имеет следующие характерные черты:

В широкой области ядер удельная энергия связи очень слабо зависит от А.
Для ядер с малыми А удельная энергия имеет “спад”.
Для тяжелых ядер средняя удельная энергия связи меньше, чем для средних, причем с ростом А наблюдается снижение ее величины.
Для ядер с Z = N удельная энергия выше, чем для других ядер с тем же значением А.
Четно-четные (по Z и N) ядра имеют в среднем большие значения , чем нечетно-четные, а нечетно-нечетные – меньшие.

Первая из перечисленных (и главная) особенность распределения удельных энергий связи ядер – следствие насыщения ядерных сил. Вторая связана с тем, что связи нуклонов, находящихся на поверхности ядра, с другими нуклонами ядра не полностью насыщены. Чем больший процент нуклонов находится на поверхности ядра, тем больше “убыль” энергии насыщения. (Этими особенностями ядерные силы оказываются подобны силам, действующим между молекулами жидкости). Третья особенность распределения объясняется тем, что протоны ядер участвуют не только в сильном (ядерном), но и в электромагнитном взаимодействии. Чем больше протонов, тем выше энергия кулоновского отталкивания. Четвертая и пятая особенности распределения – следствия оболочечной структуры ядра и симметрий, связанных с реализацией в ядре принципа Паули. Учет всех перечисленных свойств приводит к полуэмпирической формуле Вайцзеккера, или модели заряженной жидкой капли:

E_bind = a₁A - a₂A^2/3 - a₃Z²/A^1/3 - a₄(A-2Z)²/A +δA^-3/4

(10.12)

Коэфициенты в (10.12) подбираются из условий наилучшего совпадения кривой модельного распределения с экспериментальными данными. Поскольку такая процедура может быть проведена по-разному, существует несколько наборов коэфициентов формулы Вайцзеккера. Часто в (11.1) используются следующий набор коэфициентов:

a₁ = 15.6 МэВ, a₂ = 17.2 МэВ, a₃ = 0.72 МэВ, a₄ = 23.6 МэВ
δ = 0 (A-odd), δ = 34 МэВ(Z - even, N - even), δ = - 34 МэВ(Z - odd, N - odd)

Задача 10.3. Оценить энергию связи ядра ¹²С по формуле Вайцзеккера и сравнить результат с этой же величиной, полученной из экспериментальных данных о массах.

Из экспериментальных значений масс Е = 92.2 МэВ;
Из ф-лы Вайцзеккера Е = 93.2 МэВ.

Задача 10.4. Оценить изменение энергии связи ядра при делении тяжелого ядра на два одинаковых ядра- осколка. Рассмотреть случай А = 240, Z = 92.

При делении изменяются поверхностная и кулоновская энергии, причем их изменения имеют разные знаки:

E_surf = a₂·A^2/3(1-2^1/3) -0.25·a₂·A^2/3
E_coulomb = a₃·Z²(1 - 2^-2/3)/A^1/3 0.37·a₃·Z² / A^1/3

Для тяжелого ядра с A = 240, Z = 92
E_s -170 МэВ, E_c 360 МэВ

В итоге “выигрыш” в энергии при делении тяжелого ядра составляет около 190 МэВ. Эта энергия расходуется, главным образом, на кинетические энергии ядер-продуктов.

Задача 10.5. Для ядра ⁶⁰Co оценить вклады отдельных членов формулы Вайцзеккра в суммарную энергию связи.

Для данного ядра объемная энергия составляет около 950 МэВ,
поверхностная -272 Мэв,
кулоновская -133 МэВ,
энергия симметрии - 14 МэВ,
энергия спаривания -2 Мэв.
Следовательно энергия связи ядра равна 529 МэВ.

Задача 10.6. Оценить значение зарядового числа Z, при котором ядра становятся нестабильными по отношению к спонтанному распаду.

Спонтанный распад ядра возникает в случае, если кулоновское расталкивание протонов ядра начинает преобладать над стягивающими ядро ядерными силами. Оценка ядерных параметров, при которых наступает такая ситуация, может быть проведена из рассмотрения изменений в поверхностной и кулоновской энергиях при деформации ядра. Если деформация приводит к более выгодному энергетически состоянию, ядро будет спонтанно деформироваться вплоть до деления на два фрагмента. Количественно такая оценка может быть проведена следующим образом: при деформации ядро - не меняя своего объема - превращается в эллипсоид с осями

a = R(1 + ε), b = R(1 - ε/2)
V = 4πR³/3 = 4πab²/3

При деформации не меняется первый член ф-лы Вайцзеккера (3.1) , второй (поверхностная энергия) по абсолютной величине возрастает, а третий (кулоновская энергии) - уменьшается:

E_s = a₂ A^2/3(1 + 2ε² /5 +...)
E_c = a₃ Z² A^-1/3(1 -ε² /5 +...)

(10.13)

Таким образом, деформация изменяет полную энергию ядра на величину

E = -²/5(2a₂A^2/3-a₃·Z²A^-1/3)

(10.14)

Здесь учтены знаки второго и третьего членов в (10.12).
Если величина изменения энергии (10.14) положительна, энергия связи ядра (10.12) будет расти, т.е. деформация будет энергетически выгодна и спонтанное деление возможно. Следовательно, барьер деления будет исчезать, когда значения (10.14) становятся больше нуля, что наступает при значениях

Z²/A > 2a₂/a₃48

(10.15)

Следует подчеркнуть приближенный характер полученного результата как следствия классического подхода к квантовой системе - ядру.

Спектры атомных ядер

Электромагнитные моменты нуклонов и ядер

Модели атомных ядер

Модель заряженной жидкой капли