Перечислим основные характеристики ядер, которые будут обсуждаться далее:

1. Размеры ядер.
2. Энергия связи нуклонов в ядре и энергии отделения нуклонов и кластеров от ядра.
3. Спин ядра и моменты импульсов составляющих ядро нуклонов.
4. Четность ядра и частиц.
5. Изоспин ядра и нуклонов.
6. Спектры ядер. Характеристики основного и возбужденных состояний.
7. Электромагнитные свойства ядра и нуклонов.

Размеры ядер

   Распределение заряда и массы в атомных ядрах исследуется в экспериментах по упругому рассеянию на ядрах α-частиц (исторически это первые эксперименты Резерфорда), электронов и протонов. Выяснилось, что как плотность распределения заряда, так и плотность распределения массы ядра приближенно выражаются распределением Ферми:

Величину R называют радиусом ядра. Отметим, что поскольку распределение плотности заряда и массы близки, но не совпадают друг с другом, отличаются также и зарядовый и массовый радиусы. В дальнейшем будут даны примеры и рассмотрены причины различия этих величин. В приближенных расчетах можно считать эти величины совпадающими и полагать, что радиус ядра

Это одновременно означает независимость средней плотности ядра от массового числа. Действительно, оценим плотность ядра с числом А нуклонов:

Величина r₀1.2-1.3 Фм. Из (9.3) получим плотность ядерной материи ρ2·10¹⁴ г/см³

Задача 9.1. Оценить расстояние максимального сближения -частицы и ядра золота при бомбардировке мишени из золота пучком α-частиц с кинетическими энергиями 22 МэВ. Сравнить результат с суммой радиусов ядер золота и гелия.

При лобовом соударении налетающей частицы и ядра золота кинетическая энергия Т -частицы целиком тратится на преодоление потенциального кулоновского барьера:

R_He+ R_Au = r₀(4^1/3 + 197^1/3)10 Фм

При кинетических энергиях α-частиц 22 МэВ и выше расстояние наибольшего сближения ядер гелия и золота начинает быть сравнимым с размерами ядерных систем. Это означает, что чисто кулоновское рассеяние, отраженное знаменитой формулой Резерфорда, не исчерпывает взаимодействие нуклонов. При больших энергиях в формулу Резерфорда вводят еще один множитель - формфактор, отражающий размеры и внутреннюю структуру сталкивающихся нуклонов. Результат решения данной задачи показывает, что введение формфактора необходимо при кинетических энергиях -частицы, превышающих 22 МэВ.
    В данном примере умножение и деление на константу конверсии позволяет избежать введения явного вида квадрата единичного заряда, используя вместо него хорошо известную величину - постоянную тонкой структуры e²/c = 1/137.
    При оценке радиусов распределения заряда в ядре (кулоновского радиуса) используют различие энергий связи двух ядер-изобар (т.е. ядер с одинаковым числом нуклонов А).

Задача 9.2. Из сравнения энергий связи зеркальных ядер 11В и 11С (E = 2.765 МэВ) оценить величину r0 в формуле (2.2) для радиусов ядер.

Для равномерно заряженной сферы кулоновская энергия равна:

Отсюда для величины r₀ получаем

(Заметим, что в числовом решении этой задачи очень удобным является умножение числителя и знаменателя на константу конверсии, что позволяет использовать постоянную тонкой структуры e²/c = 1/137  и не переходить к другой системе единиц.)

Задача 9.3. Из сравнения энергий связи ядер 3H и 3He (Е = 0.76 МэВ) оценить кулоновский радиус R 3He.

    Действуя аналогично задаче 5, получим для кулоновского радиуса 2.3 Фм.

Энергии связи и массы ядер

    Масса стабильных ядер меньше суммы масс входящих в ядро нуклонов, разность этих величин и определяет энергию связи ядра:

В (9.4) M_N - масса ядра. В таблицах масс приводятся, как правило, не массы ядер, а массы нейтральных атомов либо величины, с ними связанные. Часто массы нейтральных атомов приводят в единицах

В приложении к [1] приведены значения “избытков масс” = M - A, где М – масса нейтрального атома в МэВ. Величина А представляет собой в данном случае произведение числа нуклонов на значение единицы массы (9.5) в МэВ. Таким образом, величины приводятся в единицах МэВ, что очень удобно для проведения расчетов.

    Для примера вычислим величину энергии связи и удельной энергии связи ядра ¹²С двумя способами: а) пользуясь таблицей масс в единицах (9.5) и б) используя таблицу = M - A.
    Прежде всего необходимо преобразовать формулу (9.4), заменив массы ядер M_N на массы нейтральных атомов М:

Формула (9.6) является приближенной – в ней опущены энергии связи электронов в атомах. Однако поскольку энергии связи нуклонов в ядре на 5 – 6 порядков превышают энергии связи электронов в атомах, это приближение не скажется на точности дальнейших расчетов энергий связи ядер. Прибавляя и вычитая Zm_e в (9.6), получим для энергии связи нуклонов в ядрах

Для ядра ¹²С по первому способу

E_b = (6^.1.007825 + 6^.1.008665 - 12.000000)^.931.5 = 92.16 МэВ.

Для использования таблиц для = M - A преобразуем (9.7)

Для энергии связи ¹²С расчет этим способом проще:

6^.7.289 + 6^.8.071 = 92.16 МэВ.

Поэтому в дальнейших расчетах будет использоваться именно второй способ, основанный на таблицах для избытков масс .
Удельная энергия связи, т.е. энергия связи на один нуклон, для ядра ¹²С составляет

    Распределение удельных энергий связи как функция числа нуклонов А является наиболее важным для приложений экспериментальным результатом физики ядра. Теоретическое объяснение этого распределения дает модель заряженной жидкой капли и соответствующая этой модели формула Вайцзеккера.

    Энергия отделения нейтрона

B_n = M(A-1,Z) + m_n - M(A,Z) = (A-1,Z) + _n - (A,Z).
B_n(¹²C) = 10.650 + 8.071 = 18.72 МэВ.

    Энергия отделения протона

B_p = M(A-1,Z-1) + M(¹H) - M(A,Z) = (A-1,Z-1) + (¹H) - (A,Z).
B_p(¹²C) = 8.668 + 7.289 = 15.96 МэВ.

B_a = M(A-4,Z-2) + M(⁴He) - M(A,Z) = (A-4,Z-2) + (⁴He) - (A,Z).
B_a(¹²C) = 4.941 + 2.424 = 7.365 МэВ.

    Сравним результаты, полученные для удельной энергии связи ядра ¹²С и энергий отделения от него нейтрона, протона и альфа-частицы. Энергия отделения одного нуклона от этого ядра оказалась более чем вдвое выше удельной энергии связи! Энергия одновременного отделения кластера из 4 нуклонов - альфа-частицы оказалась меньше удельной энергии связи – т.е. средней энергии отделения одного нуклона. Эти факты и аналогичные результаты для ряда других ядер были объяснены в теоретической модели ядерных оболочек (См. далее семинары 11,12)

Спин ядра и моменты нуклонов

    Основное и возбужденные состояния ядра и других квантовых систем характеризуется значениями моментов количества движения. Если ядро близко к сферическому, соответствующий ему гамильтониан коммутирует с оператором квадрата момента, что означает, что собственные значения этого оператора являются “хорошими квантовыми числами”, т.е. сохраняются. Как правило, ядерный гамильтониан коммутирует также с оператором проекции момента на одну из осей (в качестве этой оси обычно выбирают ось z):

Все перечисленные операторы действуют в пространстве волновых функций ядра ?:

Спином ядра называется максимальное значение проекции собственного момента импульса на выделенную ось, т.е. величина J. Спины и моменты частиц и ядер измеряются в единицах . Спин нуклона, т.е.его момент в системе координат, связанной с ним, равен 1/2.
    Полный момент количества движения нуклона в ядре складывается из его спина и орбитального момента относительно центра ядра:

Спин ядра – результат сложения моментов нуклонов ядра:

Сложение квантовых векторов происходит по правилам, изложенным на Семинаре 5 -формула (5.6). Напомним еще раз, что результаты сложения квантовых векторов отличаются от результатов сложения векторов в классической физике. Квантовый вектор может пробегать лишь дискретный ряд значений (через единицу).

Для j = 5/2 m_j = -5/2, -3/2, -1/2, +1/2, +3/2, +5/2. (6 значений, 6 = 2(5/2) + 1).
Для j = 7/2 m_j= -7/2, -5/2, -3/2, -1/2, +1/2, +3/2, +5/2, +7/2 (8 значений, 8 = 2(7/2) + 1).
Число возможных проекций момента j на выделенную ось N_j = 2j + 1.

Поскольку полные моменты всех нуклонов в данном случае равны по 1/2, возможные значения суммы четырех векторов
    Однако в физике реализуется только первое из этих значений, т.е.0. Здесь проявляется действие принципа Паули. Согласно принципу Паули, фермионы любой системы должны находиться в разных квантовых состояниях. Иными словами, фермионы не могут иметь совпадающие наборы квантовых чисел. В данном случае два нейтрона с одинаковой энергией и одинаковыми (нулевыми) значениями орбитального момента должны иметь разные значения проекции спина на выделенную ось, т.е. +1/2 и –1/2. Сумма спинов нейтронов в этом случае равна 0. Эта же ситуация реализуется для двух протонов. Поэтому суммарный момент такой четверки нуклонов – т.е. ядра ⁴ Не – равен 0.

Четность состояний ядра

    Волновая функция ядра является функцией координат составляющих его нуклонов. Переход от выбранной системы координат к системе, соответствующей зеркальному отражению всех координатных осей, приводит к преобразованию волновой функции системы. Оператор пространственного отражения

    Если гамильтониан системы коммутирует с оператором пространственного отражения, четность системы является “хорошим квантовым числом”, т.е. сохраняется. Для сильных и электромагнитных взаимодействий это выполняется, поэтому (с точностью до малых добавок, связанных со слабыми взаимодействиями) ядерные состояния имеют определенную четность. Принято указывать одновременно спин и четность ядерного состояния в форме J^P. Например, в основном состоянии дейтрона (системы нейтрон-протон) J^P = 1⁺. Четность системы частиц является произведением собственных четностей частиц и четности, соответствующей их орбитальному движению. Собственная четность нуклонов +1. Четность орбитального движения частицы с орбитальным моментом l равна (-1)^l.
    Для системы нуклонов

    Для дейтрона J^P=1⁺. Четность дейтрона положительна, (-1)^L = 1, следовательно L – четное число. Спин дейтрона равен 1. Суммарный спин двух нуклонов может принимать значения либо 0, либо 1.

=1.

Четному значению орбитального момента может соответствовать только суммарный спин 1. Поэтому значение орбитального момента есть результат вычитания (или сложения, что в случае векторов идентично) вектора полного момента и вектора спина: = + = 0, 2.

Изоспин ядра и нуклонов

    Как основное, так и возбужденные состояния ядер - помимо рассмотренных ранее энергии, спина и четности– характеризуются квантовыми числами, которые называются изоспином и проекцией изоспина. ( В литературе эти квантовые числа обозначаются обычно либо символами T и T_z, либо I и I_z ).
    Введение этих квантовых чисел связано с тем фактом, что ядерные силы инвариантны относительно замены протонов на нейтроны. Это особенно ярко проявляется в спектрах т.н.”зеркальных” ядер, т.е. ядер–изобар, у которых число протонов одного равно числу нейтронов другого. (См., например, спектры ядер ¹³C и ¹³N). Для всех известных пар таких ядер имеет место подобие спектров низших возбужденных состояний: спины и четности низших состояний одинаковы, а энергии возбуждения близки.
    С точки зрения теории изоспина, нейтрон и протон являются одной и той же частицей – нуклоном с изоспином I = 1/2 – в двух разных состояниях, различающихся проекцией изоспина на выделенную ось (I_z = I₃) в пространстве изоспина. Таких проекций для момента I = 1/2 может быть только две: I_z = +1/2 (протон) и I_z = –1/2 (нейтрон). (Квантовая теория изоспина построена по аналогии с теорией спина. Однако пространство изоспина не совпадает с обычным координатным пространством.)
    Система Z протонов и N нейтронов – ядро - имеет проекцию изоспина

    Изоспин системы нуклонов является векторной суммой изоспинов составляющих:

Ядерные (т.е.сильные) взаимодействия не зависят от проекции изоспина, или, точнее, сильные взаимодействия инвариантны относительно вращений в изоспиновом пространстве.
   Однако от величины изоспина ядерные силы зависят! Низшим по энергии состояниям системы нуклонов, т.е. основным состоянием ядра, является состояние с низшим возможным значением изоспина, которое равно

Возбужденные состояния ядер могут иметь более высокие значения изоспина, но с той же проекцией. Таким образом, характеристиками уровней данного ядра являются энергия, спин состояния, четность состояния и изоспин. Обычно три последних квантовых числа указываются как J^P, I.

    Ядро ⁴⁸ Ca имеет 20 протонов и 28 нейтронов. Следовательно, проекция изоспина этого ядра равна I_z = (20-28)/2 = -4. Изоспин основного состояния I = |I_z | = 4. Частицы или системы частиц, имеющие одинаковый изоспин и разные проекции изоспина, составляют изоспиновые мультиплеты (дублеты, триплеты, и т.д.). Особенностью членов такого мультиплета является то, что они одинаковым образом участвуют в сильном взаимодействии. Простейший пример дублета – нейтрон и протон. Состояния зеркальных ядер ¹³C и ¹³N являются другим примером.

Задание 4

1. Определить энергии связи и удельные энергии связи ядер ⁴He, ⁷Li, ¹²C, ¹³C, ²⁷Al.
2. Для ядер задачи 1 рассчитать энергии отделения нейтрона и протона.
3. Вывести формулу, связывающую энергию связи и избыток массы М-А ядра.
4. Сравнить энергии отделения протона, нейтрона и альфа-частицы от ядра ¹⁶O.
5. При какой кинетической энергии частицы ее длина волны становится равной диаметру ядра ²⁷Al? Рассмотреть два случая: а) электрон; b) нейтрон.
6. Найти кинетические энергии протона и электрона с приведенными длинами волн 1 Фм.
7. Определить максимальную длину волны -кванта в реакции + ¹²С¹¹С + n. .
8. Найти возможные значения полного момента атома, если спин ядра атома равен 5/2, а момент электронной оболочки составляет 3/2. Для каждого значения полного момента j указать возможные значения проекций моментов m_j.
9. Рассчитать магнитный момент системы нейтрон-протон в состоянии ³S₁. Сравнить результат с экспериментально найденным значением магнитного момента дейтрона (0.86 ядерных магнетонов).
10. Рассчитать электрический квадрупольный момент сферически симметричного ядра или частицы.
11. Четность дейтрона равна +1. Спин дейтрона равен 1. Найти возможные значения орбитального момента системы протон-нейтрон в дейтроне.
12. Найти значения изоспина ядер ²⁰⁸ Pb, ¹⁹⁷Au и ²⁰⁹Bi в основных состояниях.
13. Рассчитать величину кинетической энергии, выделяющейся в результате термоядерной реакции ²H + ³H⁴He + n.
14. В рамках капельной модели ядра рассчитать вклады отдельных членов в суммарную энергию связи для двух ядер: с А>200 и A<100.
15. На схеме уровней нуклона в потенциале трехмерного осциллятора со спин-орбитальным взаимодействием изобразить конфигурационные структуры основных состояний ядер ⁴He,¹²C и ¹⁶O. Перечислить квантовые числа нуклонов, формирующих ядра задачи 15.
16. В одночастичной оболочечной модели получить спины и четности основных состояний следующих ядер:⁵He, ¹³C, ¹⁷O, ¹⁷F, ²⁹Si, ³³S, ³He, ¹¹C, ¹⁵N, ²⁷Al.
17. Указать конфигурационную структуру ядер ⁵⁷Ni, ⁵⁸Ni, ⁵⁹Ni, ⁶⁰Ni. Обосновать результат сравнением с экспериментальными данными о спинах и четностях этих ядер.