§ 1.1. Постановка задачи. Интегральное уравнение для волновой функции. Асимптотическое условие

    Методы современной квантовой теории столкновений принято разделять на две категории − стационарные и нестационарные.
    Внешнее различие между этими двумя подходами велико. Оно касается и того, как формулируется задача, и математического аппарата и, наконец, области непосредственного практического применения. В первом случае она очень широка и включает разнообразные задачи, относящиеся к столкновениям атомных частиц, ядерным реакциям, взаимодействию элементарных частиц. Во втором случае область практического применения теории гораздо уже. Нестационарная теория столкновений используется чаще всего при решении особых задач, связанных с трактовкой специально поставленных экспериментов. Кроме того, в отличие от стационарной теории здесь по существу нет таких стандартных теоретических приемов, которые были бы взяты «на вооружение» непосредственно экспериментаторами.
    Тем не менее, между стационарной и нестационарной теориями столкновений нет принципиальных различий, а, следовательно, и какого-либо принципиального разделения сфер их действия. Мы покажем, что стационарная теория столкновений со всеми ее привычными атрибутами − фазами рассеяния, борновским приближением, формфакторами и т.п. − вытекает из строгой формулировки задачи столкновения, которая в квантовой механике, как и в классической механике, дается изначально в рамках нестационарной теории. Другими словами, стационарная теория столкновений − это особый математический метод, «рецепт» решения задач теории столкновений, который технически очень удобен и физически нагляден. Вместе с тем надо учитывать и то, что современная квантовая физика все чаще сталкивается с задачами, где видна потребность в разработке других, «прямых» методов нестационарной теории, позволяющих непосредственно проследить за эволюцией состояний квантовых систем в процессах столкновений.
    Мы построим изложение следующим образом. Сначала, отправляясь от интуитивных соображений, сформулируем основные положения стационарной теории столкновений − сперва применительно к задаче потенциального рассеяния, а затем и к разнообразным задачам о столкновениях с составными системами. По ходу разработки конкретных методов теории мы будем не только демонстрировать их успешное применение, но и останавливаться на трудностях, условностях стационарной теории. В заключительной лекции первого раздела курса будет сделано «сшивание» стационарного и нестационарного подходов.
    Начнем с простейшей задачи о рассеянии частиц неподвижным силовым центром. Пусть V(r) − потенциальная энергия взаимодействия частиц с центром, μ − масса частицы. Наша цель − найти дифференциальное сечение рассеяния dσ/dΩ при условии, что на центр из бесконечности падает плоскопараллельный пучок частиц с заданной начальной скоростью v₀ = n₀v₀.
    Вспомним, как решается эта задача в классической механике. При t = −∞ для каждой частицы падающего пучка задается прицельный параметр b. В общем случае это двумерный вектор в плоскости, перпендикулярной направлению n₀. При рассеянии сферически-симметричным или аксиально-симметричным (относительно направления падающих частиц) потенциалом задача характеризуется аксиальной симметрией; в таком случае достаточно указать модуль вектора b = |b|. Уравнения движения позволяют найти для каждого значения b траекторию движения частиц:
r = r(t). Ее асимптотика при t → +∞ указывает направление вылета рассеянной частицы n, т.е. в общем случае, полярный G и азимутальный ср углы рассеяния. Установив зависимость n = n(b), мы вычисляем дифференциальное сечение рассеяния dσ/dΩ.
    В квантовой механике нет траекторий движения частиц. Процесс рассеяния описывается волновой функцией, которая при использовании стационарной теории столкновений есть решение стационарного уравнения Шредингера:

ψ(r) = Eψ(r).

(1.1)

    В рассматриваемой задаче r − это пространственная координата частицы, а гамильтониан − оператор, представляющий собой сумму оператора кинетической энергии частицы и потенциальной энергии ее взаимодействия с силовым центром = V(r):

= 0 + .

(1.2)

Все взаимодействия, с которыми мы будем иметь дело, исчезают на больших расстояниях от силового центра. Примем уровень потенциальной энергии на бесконечности за начало отсчета полной и потенциальной энергии частицы:

    Таким образом, область, в которой V(r) > 0, соответствует отталкиванию, a V(r) < 0 − притяжению частицы силовым центром.
    При Е > 0 уравнение (1.1) не имеет квадратично интегрируемых решений. Вместе с тем важнейшим исходным положением квантовой механики является положение о том, что только квадратично интегрируемые функции описывают реальные состояния физических систем (см. [1, с.6]). Таким образом, решения стационарного уравнения Шредингера, с которыми имеет дело стационарная теория столкновений, играют с физической точки зрения лишь вспомогательную роль, и их связь с реальными состояниями частицы, испытывающей столкновение, нам еще предстоит выяснить (см. лекцию 7).
    Подставляя (1.2) в (1.1), перепишем уравнение Шредингера в виде

(0 − E)ψ(r) = -ψ(r).

(1.4)

Вместе с этим уравнением нам придется рассматривать и соответствующее однородное уравнение, решения которого мы будем обозначать как φ(r):

(0 − E)φ(r) = 0.

(1.5)

Частным случаем решения φ(r) является плоская волна:

Не будучи квадратично интегрируемой, функция (1.6) не описывает какого-либо реального состояния частицы; в стационарной теории столкновений мы будем пользоваться ею для описания плоскопараллельного стационарного потока частиц с заданным импульсом р = ћk (в дальнейшем мы будем просто говорить - «с импульсом k»). Заметим, что при выбранной нами нормировке функции (1.6) удовлетворяют следующему соотношению («условие полноты»):

(1.7)

    Будем искать решение уравнения (1.4), описывающее процесс рассеяния, исходя из следующего физического требования: пусть на достаточно большом расстоянии от силового центра, когда взаимодействием между частицей и силовым центром можно пренебречь, волновая функция задачи рассеяния представляет собой суперпозицию плоской волны (1.6) и расходящейся сферической волны:

где k − импульс (волновой вектор) падающих частиц. Ниже мы покажем, что такое решение уравнения (1.4) действительно существует.
    Для этого перейдем от дифференциального уравнения Шредингера (1.4) к эквивалентному интегральному уравнению

(1.9)

где G₀(E,r,r') − функция Грина, соответствующая оператору ₀ и удовлетворяющая уравнению

(E − 0)G0(E,r,r') = δ(r − r')

(1.10)

(мы будем называть G₀(E,r,r') функцией Грина свободного движения частицы). В эквивалентности (1.4) и (1.9) легко убедиться, подставив (1.9) в левую часть уравнения (1.4). При этом надо учесть связь между энергией и импульсом свободной частицы:

В дальнейшем мы будем пользоваться также сокращенной записью уравнения (1.9):

ψk(r) = eikr + ψk(r),

(1.12)

или

ψk(r) = eikr + 0(E)ψk(r),

(1.13)

где

₀(E) ≡

− гриновский оператор свободного движения частицы (являющийся, как видно из (1.9), интегральным оператором).
    Интегральные уравнения (1.9), (1.13) для волновой функции задачи рассеяния носят название уравнения Липпмана−Швингера.
    Из всех возможных решений уравнения Липпмана− Швингера нам надо выбрать такие, которые удовлетворяют асимптотическому условию (1.8). Как это сделать? Для ответа на этот вопрос вычислим функцию Грина G₀(E,r,r') и рассмотрим, как выглядит она при r → ∞.