В предыдущих главах были рассмотрены все основные процессы, действующие при электромагнитных взаимодействиях заряженных частиц и фотонов с веществом. При высоких энергиях частиц (при Е > ε и Е >Е_{п экр}) основными процессами являются:
    а) радиационное торможение электронов и
    б) образование фотонами электронно-позитронных пар.
    Зависимость этих процессов от энергии для всех веществ описываются выражениями, очень похожими по форме, особенно если эти процессы относить к t₀-единице (т.е. t₀-единицу принять за масштаб длины), т.к. различие в свойствах веществ учтены в величине t₀-единицы.
    Вероятность радиационного торможения электрона энергии Е с созданием фотона энергии Е' в интервале (Е, Е'+dE') на 1 см пути во всех веществах описывается выражением:

а полная вероятность процесса, т.е. вероятность создания на 1 см. пути любого фотона с энергией в интервале от 0 до Е будет

Поскольку |-dE/dt|_рад = Е, (В дальнейшем толщина вещества будет измеряться в радиационных единицах, т.е. t = x/t₀. Поэтому формула приобретает указанный вид) то "средний" электрон на одной радиационной единице вещества теряет всю свою энергию, причем теряет ее равномерно по Е^'/Е, т.е. поровну в каждый энергетический интервал вторичных фотонов. Например, на каждый фотон с энергией 100 МэВ приходится в среднем 10 фотонов с энергией по 10 МэВ. Таким образом, после прохождения высокоэнергичным электроном одной радиационной единицы возникает с большой вероятностью фотон с энергией, сравнимой с энергией первичного электрона. Вероятность создания фотоном энергии Е' электрона с энергией Е и позитрона с энергией (Е' − Е ) на 1 см пути во всех веществах описывается выражением:

а полная вероятность этого процесса равна

    Таким образом, в результате рождения пар каждый "средний" фотон "живет" около
1.3 радиационной единицы пути, причем энергия между электроном и позитроном распределяется с равной вероятностью. Например, вероятность того, что электрон получит энергию 0.1 Е' и позитрон 0.9 Е', равна вероятности того, что электрон получит 0.9 Е', а позитрон 0.1 Е', или того, что электрон и позитрон получат энергию по 0.5 Е'.
    Эти свойства указанных процессов являются основой для качественного понимания возникновения электронно-фотонных каскадов (ЭФК) при высоких энергиях.
    Сопоставляя радиационные потери энергии электронами с потерями на ионизацию, мы пришли к выводу, что относительные потери энергии электронами можно считать постоянными, если их энергия больше критической энергии е данной среды.
    С другой стороны, процесс образования пар можно считать независящим от энергии фотонов при условии полного экранирования, т.е. их энергия должна быть больше Е_{п экр} =137m_ес²Z^1/3. Но для большинства сред величина критической энергии ε не совпадает с величиной Е_{п экр} (таблица 4.1).

Таблица 4.1. Сравнение ε и Е_{п экр}

    Например, для воздуха ε > Е_{п экр}, а для свинца ε < Е_{п экр}. Предельные выражения для тормозного излучения и процесса образования пар можно использовать при выполнении обоих этих условий. Поскольку в легких веществах (воздухе, углероде) ε > Е_{п экр}, то при энергиях частиц Е_{п экр} <Е < ε нужно учитывать ещё ионизационные потери электронов. В тяжелых веществах Е_{п экр} > ε, и поэтому при энергиях частиц Е < Е_{п экр} необходимо учитывать и другие процессы взаимодействия фотонов с веществом (комптоновское рассеяние и фотоэффект).

4.2. Рассеяние электронов

    Рассмотрим сначала простейший вариант теории и определим среднее число частиц в лавине на различных глубинах t ее развития. Пренебрежем всеми процессами взаимодействия, кроме тормозного излучения электронами и рождения пар фотонами (приближение А.). Что кроется за этими условиями?

1. 1.  Для соответствующих сечений используется приближение полного экранирования, т.е. энергия частицы Е должна быть больше энергии полного экранирования Е_{п экр}.
2. 2. Пренебрегаем ионизационными потерями, т.е. рассматриваем частицы с энергиями, превышающими критическую энергию ε.
3. 3. Не учитываются никакие флуктуации.
4. 4. Не учитывается комптоновское рассеяние фотонов.

    Пусть P(E,t)dE − среднее число электронов с энергией в интервале (E, E+dE) на глубине t, a
Г(E,t)dE − среднее число фотонов в том же интервале энергий и на той же глубине.
    Кинетические уравнения в приближении А можно сформировать следующим образом.
    Изменение числа частиц в энергетическом интервале (E, E+dE) при прохождении ими слоя dt на глубине t вещества можно записать так:
    1.  В результате образования пар фотонами с энергией Е' > Е увеличивается число электронов в интересующем нас энергетическом интервале (Е, Е + dE):

    2.  В результате образования пар уменьшается число фотонов в энергетическом интервале
(Е, Е+dE):

    3. В результате тормозного излучения на пути dt уменьшается число электронов в интервале
(Е, Е+dE):

    4. В результате тормозного излучения электронов с энергией Е' >Е, часть из них перейдет в интервал энергий (Е, Е+dE}:

    5.  Изменение числа фотонов в интервале (Е, Е+dE] из-за тормозного излучения электронов энергии Е' > Е будет:

    Таким образом, кинетические уравнения каскадной теории можно записать следующим образом:

    Полученные интегродифференциальные уравнения являются основными уравнениями каскадной теории в области больших энергий. Они линейны относительно функций P и Г и однородны относительно Е и Е'. Эти свойства уравнений позволяют применить для их решения метод функциональных преобразований Лапласа-Меллина. Для этого перейдем от переменной Е к новой переменной s с помощью соотношений:

    Умножив полученные нами кинетические уравнения на E^s и проинтегрировав их по Е от 0 до ∞, получим вместо них другую систему уравнений:

= -A(s)·P(s,t) + B(s)·Г(s,t),
= C(s)·P(s,t) − σ₀·Г(s,t),

где

Зависимости A(s), B(s) и C(s) приведены в монографии С.З. Беленького.
    Решения вновь полученных уравнений можно записать в виде

P(s,t) = а₁exp(λ₁t) + a₂exp(λ₂t),
Г(s,t) = b₁exp(λ₁t) + b₂exp(λ₂t),

причем коэффициенты а₁, а₂, b₁ и b₂ являются функциями s, a λ₁(s) и λ₂(s) − корнями квадратного уравнения

λ² + λ[A(s) + σ₀] + A(s)σ₀ − B(s)·C(s) = 0;

    Коэффициенты a₁(s), a₂(s), b₁(s) и b₂(s) связаны между собой соотношениями

    Далее надо сформулировать граничные условия Р(0,Е) и Г(0,Е) и подобрать коэффициенты a₁(s) и a₂(s) так, чтобы эти граничные условия были удовлетворены.
    Например, если на слой вещества падает один электрон с энергией Е₀, не сопровождаемый фотонами, то Р(0,Е) = δ(Е₀ − Е), а Г(0,Е) = 0.
 

    В этом случае

    Переходя затем обратно от параметра s к Е получаем искомые функции P(E,t) и Г(E,t).
    Обычно, с практической точки зрения наиболее интересно знать, каково на глубине вещества t полное число электронов (или фотонов) с энергией больше заданной Е при начальной энергии Е₀. Иначе говоря, интересен интегральный энергетический спектр лавинных частиц на глубине t:

    Для частного случая граничных условий, когда при t = 0 имеется один электрон энергии Е0, не сопровождаемый фотонами, число электронов на глубине t с энергией >Е определяется следующим выражением, которое обычно записывается в параметрической форме

    Значения параметров

табулированы для разных s в и представлены на рисунке 4.1.
    Функция H(s) положительна. Величина ее меняется от 0.55 до 0.2 при изменении параметра s от 0 до 2.
    Функция λ₁(s) − монотонно убывающая функция параметра s. Она меняет свой знак при s = 1. Для s < 1 эта функция положительна, что приводит к увеличению числа частиц в лавине с возрастанием глубины наблюдения t. При s > 1 функция λ₁(s) < 0 и теперь уже она определяет скорость поглощения частиц лавины с глубиной вещества t. Величина ее в интервале изменения s от 1.3 до 1.7 меняется мало: от -0.24 до -0.43.
    Функция (s) всегда положительна и уменьшается с возрастанием параметра s сначала очень резко (от +75 при s = 0.2 до +2 при s = 0.9), а затем при s > 1 очень медленно.
    Параметр s(t), формально введенный при решении кинетических уравнений, имеет глубокий физический смысл: он характеризует степень развития электронно-фотонной лавины. Его часто называют возрастным параметром или просто возрастом ливня. Значение параметра s(t) определяется из уравнения

(s)·t + ln(E₀/E) = 0,

которое устанавливает связь между глубиной развития лавины t и энергией Е вторичных лавинных частиц. Функция (s) < 0 и возрастает с увеличением параметра s (рис. 4.1).

Рис.4.1. Зависимость от возрастного параметра s функций: H(s) − 1, λ₁(s) − 2, (s) − 3, (s) − 4.

    Исследование функции-решения N(> E,E₀,t) показывает, что:

1. Максимальное число частиц в лавине Nmax(> E,E₀t) соответствует s = 1 (по условию экстремума).
2. Зная величину s в максимуме, можно найти максимальное число электронов

3. Глубину максимума лавины можно найти из уравнения

(1)·t_max + ln (E₀/E) = 0,

4. Величина параметра s(t) меняется с глубиной развития лавины t, поэтому по мере углубления лавины меняется и энергетический спектр вторичных частиц

N(≥ E,E₀,t) ~ (E₀/E)^s ~ E^-s.

    До максимума, при s < 1, лавина находится в начале своего развития (λ₁ > 0), число частиц в ней увеличивается с глубиной, в ней еще много электронов большой энергии - энергетический спектр вторичных электронов "жесткий", "пологий". За максимумом, при s > 1, лавина затухает (λ₁ < 0), спектр становится более "мягкий", более крутой, средняя энергия электронов меньше, чем в максимуме развития каскада.
    Наличие максимума в числе лавинных частиц физически совершенно понятно. Сначала идет процесс размножения частиц из-за тормозного излучения электронов и последующего образования фотонами электронно-позитронных пар. Процесс размножения идет до тех пор, пока энергия лавинных частиц в среднем не упадет до выбранного минимального значения энергии Е или до критической энергии ε. При дальнейшем движении частиц в веществе число их будет уменьшаться и образовавшаяся лавина затухать. Аналогичное положение имеет место и для фотонов. Поскольку эффективные сечения для образования пар и испускания тормозного излучения сравнительно близки друг к другу, отношение числа фотонов и электронов в лавине остается приблизительно постоянным.
    Из всего рассмотрения ясно, что резко выраженный максимум в числе частиц будет наблюдаться только в случае, если на данное вещество падают частицы с одной и той же энергией Е₀. Если же первичные частицы имеют разные энергии (спектр энергий), то максимумы для частиц каждой энергии будут получаться на разных глубинах, и суммарная кривая окажется расплывчатой. При степенном виде спектра первичных частиц суммарная кривая вообще может не иметь максимума.
    На больших глубинах, далеко за максимумом, число частиц будет экспоненциально убывать по закону поглощения

exp (λ₁(1.8)t) = e^-0.47t.

    Для ряда экспериментальных задач нужно знать распределение по энергиям электронов всей лавины, т.е.

    Если Е₀ >> Е, то P(>E,E₀) ~ Е^-1 т.е. совпадает с видом энергетического спектра частиц в максимуме лавины. Поскольку этот спектр получается в результате усреднения спектра лавинных частиц по глубине, то полученный спектр обычно называют равновесным спектром.

4.5. Каскадная теория в приближении Б

    При высоких энергиях электронов и фотонов (>>ε, Е_{п экр}) основными процессами электромагнитного взаимодействия являются процессы радиационного торможения электронов и образование электронно-позитронных пар фотонами. Формулы для вероятностей тормозного излучения и рождения пар на 1 см пути в любом веществе в теории Бете-Гайтлера имеют довольно простой вид : w_T(E,E')dE' = (l/t₀) dE'/E', w_П(E',E) dE = (7/9t₀) dE/E'.
    При получении этих выражений сначала рассматривались соответствующие взаимодействия с отдельными атомами, а потом для получения эффекта на единице пути вещества суммировались эти результаты, т.е. бралась простая суперпозиция независимых друг от друга взаимодействий. Такой подход вполне оправдан для широкого интервала энергий и для легких и газообразных сред,    где межатомные расстояния много больше значений эффективного расстояния для взаимодействия. Потому в легких и газообразных средах нет каких-либо ограничений для применения теории Бете -Гайтлера в области высоких энергий.
    Однако в плотных средах это не так. При энергиях больших 10¹³ эВ в плотных веществах нельзя рассматривать взаимодействия со средой как сумму независимых взаимодействий с отдельными атомами. Взаимодействия начинают носить коллективный характер, процессы радиационного торможения и образования пар начинают определяться всей совокупностью вещества, находящегося в зоне действия заряженной частицы, причем эта зона действия может достигать макроскопических размеров. Так, для электронов с энергией Е = 10¹⁶ эВ, она становится порядка 1 см. На таком пути одновременно с торможением электроны испытывают многократное рассеяние, теряя энергию, что приводит к уменьшению вероятности испускания фотонов и изменению их спектрального состава, и, как следствие этого, к уменьшению вероятности образования электронно-позитронных пар с ростом энергии исходного фотона. Впервые на это обратили внимание Л.Д. Ландау и И.Я. Померанчук в 1953 году и дали физическую интерпретацию этого явления, а в 1957 г. А.Б. Мигдал математически обосновал его на основе релятивисткой квантовой теории. Поэтому сам эффект получил название эффекта Ландау - Померанчука - Мигдала (ЛПМ).

    Поясним сказанное на примере учета влияния многократного рассеяния на результат тормозного излучения электрона (рис.4.5).
    Пусть электрон энергии Е испытывает в поле ядра радиационное торможение. В системе покоя электрона время, необходимое для формирования им фотона, будет определяться частотой фотона, т.е. будет равно 1/ω. В лабораторной системе из-за наличия лоренц-фактора γ = Е /m_ec² это время увеличивается в γ раз и становится равным
τ = γ/ω = 1/ω · Е/m_ec².
    Путь, который проходит электрон, пока фотон не сформировался и не оторвался от электрона, будет равен L = τc. После излучения электроном фотона энергии Е' у электрона останется энергия
Е − Е'. Энергия излученного фотона Е' связана с его частотой соотношением Е' = ћω·(Е − Е')/m_ec², где (Е − Е')m_ec² = γ' − лоренц-фактор электрона с полной энергией Е − Е'. Из этого соотношения можно найти 1/ω = ћ/m_ec² · (Е − Е')/Е' и, следовательно, время формирования фотона будет

τ = ћ/m_ec² · (Е − Е')/Е' · Е/m_ec².

    За это время электрон проходит расстояние

L = τ·c = ћ/m_ec · (Е − Е')/Е' · Е/m_ec² = ₀ · (Е − Е')/Е' · Е/m_ec².

где ₀ − комптоновская длина волны электрона, ₀ = 3.87 10^-11 см. L − расстояние, на котором формируется фотон, называется эффективным расстоянием взаимодействия или длинной когерентности*.
    Оценим величину L. Пусть Е = 10¹³ эВ, а Е' = 0.5 Е, тогда L ≈ 8 мкм; если же Е' = 0.1 Е, то L ≈ 72 мкм, т.е. эффективное расстояние взаимодействия становится вполне макроскопической величиной. Что же происходит с электроном на этом пути? Например, он может испытывать многократное кулоновское рассеяние, и, следовательно, энергия электрона будет уменьшаться. Угол многократного рассеяния зависит от энергии частицы и длины ее пути L.
    Найдем величину энергии электрона, при которой многократное рассеяние электрона на пути L становится заметным, т.е. угол многократного рассеяния < θ_р > будет превышать угол < θ_Т >, возникающий при радиационном торможении электрона:

0.7Е_s/E · (L/t₀)^1/2 ≥ m_ec²/E.

    Из этого соотношения получаем величины:

L/t₀ >(m_ec²/0.7E_s),
Е/m_ec² = L/₀ · Е'/(Е − Е') ≥ (m_ec²/0.7E_s)² · t₀/₀ · Е'/(Е − Е').

    Для свинца, например, t₀ = 0.56 см и E ~ 9·10¹² эВ. Таким образом , уже при энергии электронов Е > 10 ТэВ нельзя пренебрегать многократным рассеянием в свинце. К чему это приведет? На пути электрона ~ L будет происходить многократное рассеяние, т.е. энергия электрона будет уменьшаться. Уменьшение энергии электронов приводит к уменьшению ими потерь энергии на тормозное излучение, поскольку (dE/dt)_T ~ E, и к изменению энергетического спектра тормозных фотонов − он становится обедненным фотонами низких энергий (рис.4.6).

Рис. 4.6. Энергетический спектр фотонов, возникающих при торможении электрона энергии Е0 = 40 ГэВ на одной t0-единице по расчётам: 1 − Бете-Гейтлера, 2 − ЛПМ (углерод), 3 − ЛПМ (алюминий), 4 − ЛПМ (свинец)

    Кроме того, электрон, меньше теряя энергии на тормозное излучение, приобретает свойства более проникающей частицы. Все это приводит к изменению формы каскадной кривой (рис. 4.7).

l

Рис.4.7. Сравнение каскадных кривых в свинце от первичного электрона с энергией Е₀ = 10 эВ (а) и 10 эВ (б), полученных с учётом (сплошные кривые) и без учёта (штриховые) эффекта ЛПМ. Энергия лавинных электронов: 1 − Е =10⁶ эВ, 2 − 10⁸ эВ, 3 − 10¹⁰ эВ

Вопросы и задачи к главе 4

1. Определить число частиц в максимуме ЭФК в свинце от первичных электронов с энергиями: 1 ГэВ, 100 ГэВ, 1 ТэВ и глубины максимумов в этих каскадах.
2. Определить полное число частиц в этих каскадах
3. Какую толщину свинца необходимо использовать в эксперименте по определению энергии электрона порядка 10 ТэВ?

ЛИТЕРАТУРА

1. Окунь Л.Б.Физика элементарных частиц.− М.: Наука, 1988.
2. Люк К., By Цзянь-Сюн (составители-редакторы). Принципы и методы регистрации элементарных частиц.− М.: Иностранная литература, 1963.
3. Джелли Дж. Черенковское излучение и его применение.− М.: Иностранная литература, 1960.
4. Росси Б., Грейзен К. Взаимодействие космических лучей с веществом.− М.: Иностранная литература, 1948.
5. Беленький С.З. Лавинные процессы в космических лучах. − М.: Гостехиздат, 1948.
6. Иваненко И.П. Электромагнитные каскадные процессы. − М.: Изд-во Моск. ун-та, 1972.
7. Иваненко И.П., Роганова Т.М. Каскадные ливни, вызванные частицами сверхвысоких энергий.− М.: Наука, 1983.
8. Беляев А.А., Иваненко И.П. и др. Электронно-фотонные каскады в космических лучах при сверхвысоких энергиях. − М.: И. Наука, 1980.

* Поля, созданные частицей при прохождении близких точек траектории на пути L, мало отличаются друг от друга и поэтому складываются когерентно.