Разложение плоской волны, распространяющейся вдоль оси z по состояниям с различными орбитальными моментами имеет вид:

,

(6.1)

где j_L(kr) - сферическая функция Бесселя, а - угол между векторами k и r. MJ фотонам в этом ряду соответствуют члены с L = J, EJ фотонам - члены с L = J + l. Запишем три члена разложения:

.

(6.2)

    Очевидно, что первому члену с L = 0 соответствуют E1 фотоны. Второй — содержит в неразделенном виде M1 и E2 фотоны, для которых L = 1, а J принимает значения 1 и 2. Третий член отвечает совместному вкладу E1, M2 и E3 фотонов, для которых L = 2, а J равно 1, 2, 3 и т. д. Подставляя в разложение (6.2) явный вид функций Бесселя для малых L при kr <<1:

,
,

и сферических гармоник

,
,

и принимая во внимание то, что rcos = z, получаем

где выражение в квадратных скобках представляет собой разложение e^ikz в ряд по степеням ikz. Очевидно, что при произвольном направлении волнового вектора k

.

(6.3)

Этот результат можно было бы получить сразу. Однако, выводя его из разложения (6.1), можно заключить, что первому члену в квадратных скобках (единице) в выражении (6.3) соответствуют E1 фотоны, второму (ikr) – M1 и E2 фотоны, третьему – E1, M2 и E3 фотоны и т.д.

    Итак, в качестве первого приближения для при kr << 1 можно использовать первый член в разложении (6.3),отвечающий электрическим дипольным фотонам:

Тогда матричный элемент электромагнитного перехода будет иметь следующий вид (см. (1.1) и
(1.5)):

Заменим в этом выражении матричный элемент от оператора импульса на матричный элемент от оператора координаты, используя известное в квантовой механике соотношение

.

(6.4)

С учетом этого соотношения получаем

,

(6.5)

где – не что иное, как статический электрический дипольный момент системы, обозначаемый в дальнейшем D.
    Итак, мы показали, переходя от импульсов частиц, образующих квантовую систему, к их координатам, что в длинноволновом приближении, когда учитывается поглощение лишь электрических дипольных фотонов, матричный элемент электромагнитного перехода может быть сведен к матричному элементу оператора электрического дипольного момента этой системы.
    Очевидно, что при поглощении E1 фотонов возникают колебания электрического дипольного момента системы с частотой, равной частоте внешнего поля. Действительно, в длинноволновом приближении

A(r,t)

и напряженность электрического поля, определяемая выражением

,

в каждый момент времени приблизительно одна и та же для всех точек системы. Иначе говоря, частицы системы все время находятся в электрическом поле приблизительно одинаковой фазы. Под действием этого поля заряженные частицы будут перемещаться относительно своего первоначального положения, что приведет к колебанию электрического дипольного момента системы с частотой, равной частоте внешнего поля.
    Если электрические дипольные колебания в системе при данной энергии возбуждения невозможны, то для вычисления вероятностей электромагнитных переходов необходимо использовать следующие члены разложения векторного потенциала плоской волны в ряд по степеням ikr, и прежде всего второй член, ответственный за поглощение M1 и E2 фотонов. Можно показать, что и в этом случае в длинноволновом приближении матричные элементы электромагнитных переходов сводятся к матричным элементам операторов магнитного дипольного и электрического квадрупольного моментов системы. Возникающие при поглощении M1и E2 фотонов возбуждения носят характер колебаний соответственно магнитного дипольного и электрического квадрупольного моментов системы с частотой, равной частоте внешнего поля.
    Более того, можно показать, что и в общем случае в длинноволновом приближении матричный элемент электрического перехода любой мультипольности

,

где дается выражением (5.1), может быть сведен с точностью до множителя, не зависящего от координат, к матричному элементу

,

где компонента статического электрического момента системы той же мультипольности, определяемая выражением

.

(6.6)

Аналогично показывается, что в длинноволновом приближении матричный элемент магнитного перехода любой мультипольности

сводится к матричному элементу оператора M_JM статического магнитного момента системы той же мультипольности, который в отсутствии у частиц спина дается выражением

,

(6.7)

где L_a – оператор орбитального момента, действующий на переменные частицы a (L_a = [r_a x p_a]).
    Мультипольными электрическими и магнитными моментами обладает любая система, состоящая из движущихся заряженных частиц (в том числе и атомное ядро). При J = 0 D_JM имеет всего одну компоненту

,

где Q – суммарный электрический заряд системы. При J = 1 D_JM имеет три компоненты D_1,+1, D_1,–1, D_1,0, непосредственно определяемые через проекции вектора D электрического дипольного момента системы на оси комплексных циркулярных координат. Действительно,

 , а ,

имеем

,

(6.8)

    Подчеркнем, что для получения вероятностей электрических дипольных переходов между состояниями квантовой системы, характеризующимися определенными значениями полного момента J и его проекции M, правильнее вычислять матричные элементы не от оператора вектора электрического дипольного момента системы, который отвечает поглощению E1 фотонов с любыми возможными значениями проекции (M = 0, ±1) полного момента (J = 1) на выделенное направление, а от операторов D_1M (M = 0,±1), что обеспечивает выполнение закона сохранения проекции момента.
    При J = 2 D_2M имеет пять компонент, образующих, как известно, тензор электрического квадрупольного момента системы, и т.д.
    Для магнитных мультипольных моментов при J = 0 M₀₀ = 0, что очевидно, так как в природе не существует магнитных зарядов.
    При J = 1 компоненты M_1M (M₁₀, M_1,+1, M_1,–1) непосредственно определяются через проекции вектора магнитного дипольного момента системы

(6.9)

на оси комплексных циркулярных координат аналогично соотношению (6.8) и т. д.
    Итак, для вычисления вероятностей электромагнитных переходов различной мультипольности между состояниями |i> и |f> в длинноволновом приближении достаточно рассчитать недиагональные матричные элементы

<f|D_JM|i> и <f|M_JM|i>

операторов статических электрических и магнитных моментов соответствующей мультипольности.
    Диагональные матричные элементы этих операторов

<i|D_JM|i>, <i|M_JM|i>, <f|D_JM|f>, <f|M_JM|f>

очевидно, дадут нам статические электрические и магнитные моменты системы в этих состояниях. Напомним, что если состояния _i квантовой системы характеризуются определенной четностью, то для таких состояний отсутствуют все нечетные статические электрические моменты (дипольный, октупольный и т. д.). Это непосредственно следует из того, что в диагональном матричном элементе – всегда четная функция и интеграл обращается в нуль, если D_JM – нечетная функция, что имеет место для нечетного J, так как четность D_JM определяется четностью сферических функций Y_JM (см. выражение (6.6)) и равна (–1)^J. Аналогично показывается, что для таких квантовых систем отсутствуют все четные магнитные моменты, так как четность M_JM равна (–1)^J+1.
    Выражения (6.6) и (6.7) для мультипольных операторов электрических и магнитных переходов справедливы при отсутствии у частиц спина. В том случае, когда спины частиц, образующих квантовую систему, отличны от нуля, эти операторы имеют вид:

, ,

(6.10)

где _a и S_a – величина магнитного момента и спиновый оператор частицы a. В частности, для оператора магнитного дипольного момента можно получить выражение

,

(6.11)

    Для атома и атомного ядра спиновым членом в мультипольном операторе электрического перехода можно пренебречь. Действительно, для EJ перехода с учетом того, что S_a = _a/2, где _a – оператор, выражающийся через матрицы Паули, второй (спиновый) член по отношению к первому (связанному с орбитальным движением частиц) дает вклад

,

(6.12)

так как для электронов и нуклонов _a > 1 (для электронов, протонов и нейтронов _a принимает значения соответственно 1, 2.79 и –1.91) и энергия атомных и ядерных переходов существенно меньше массы электрона и нуклона в энергетических единицах. Например, для рассматриваемых ниже ядерных переходов 20 МэВ, в то время как mс²940 МэВ. В этой связи в дальнейшем при рассмотрении электрических дипольных переходов мы будем пренебрегать спиновым членом.
    Для магнитных переходов орбитальный и спиновый члены сравнимы по величине.
    Из сказанного, также следует, что выводы, сформулированные в конце § 5 для вероятностей электромагнитных переходов в системах бесспиновых частиц, остаются справедливыми и для таких систем, состоящих из частиц с неравными нулю спинами, какими являются атомы и атомные ядра