Использование константы конверсии в курсе
"Физика ядра и частиц"

    "Физика ядра и частиц" представляет собой завершающий этап курса общей физики в программе Московского государственного университета им. M.В. Ломоносова. Одной из трудностей, с которыми сталкивается преподавание этого раздела общей физики на третьем курсе физического факультета, является необходимость освоения методов расчета с использованием принятых в субатомной физике единиц измерения физических величин.
    Переход от освоенных студентами за 2 года обучения систем СИ и СГС к внесистемным единицам физики микромира значительно упрощается при использовании в процессе решения задач т.н. константы конверсии ћc ("conversion constant") [1]. Использование константы конверсии позволяет за счет упрощения решения задачи уделить больше внимания ее физическому содержанию.
    В субатомной физике основной единицей измерения энергии является 1 МэВ:

1 МэВ = 10⁶ эВ = 10^-3 ГэВ = 10^-6 ТэВ = 1.60218^.10^-13 Дж.

Линейные размеры субатомных объектов определяют, как правило, в единицах Ферми:

1 Фм =10^-13 см.

Константа конверсии равна:

ћc = 197.327 МэВ·Фм ≈ 200 МэВ·Фм =2·10^-11МэВ·см.

Рассмотрим примеры решения задач курса субатомной физики с использованием константы конверсии.

Задача 1. Определить полную E и кинетическую энергию T электрона, приведенная длина волны которого равна 10^–2 Фм.

Приведенная длина волны частицы выражается как:

откуда

= 2·10⁴ МэВ = 20 ГэВ.

Поскольку энергия покоя электрона mc² всего 0.511 МэВ, то при таких высоких энергиях его полная и кинетическая энергии практически совпадают ( их разность при условиях задачи меньше 0.1%.) Поэтому окончательный ответ имеет вид:

E ≈ T ≈ 20 ГэВ.

Энергии электронов 20 ГэВ и выше достижимы в настоящее время на ряде электронных ускорителей высоких энергий. Например, на  ускорителе LEP в Европейском центре ядерных исследований (CERN) энергии электронов и позитронов, движущихся навстречу друг другу в этом ускорителе на встречных пучках, составляла около 100 Гэв.

Задача 2. Оценить расстояние максимального сближения -частицы и ядра золота при бомбардировки мишени из золота пучком -частиц с кинетическими энергиями 22 МэВ. Сравнить результат с суммой радиусов ядер золота и гелия.

    При лобовом соударении налетающей частицы и ядра золота кинетическая энергия Т -частицы целиком тратится на преодоление потенциального кулоновского барьера :

, = 10.4 Фм,

R_He + R_Au = r₀(4^1/3 +197^1/3) ≈ 10 Фм.

При кинетических энергиях α-частиц 22 МэВ и выше расстояние наибольшего сближения ядер гелия и золота начинает быть сравнимым с размерами ядерных систем. Это означает, что чисто кулоновское рассеяние, отраженное знаменитой формулой Резерфорда, не исчерпывает взаимодействие нуклонов. При больших энергиях в формулу Резерфорда вводят еще один множитель - форм-фактор, отражающий размеры и внутреннюю структуру сталкивающихся нуклонов. Результат решения данной задачи показывает, что введение форм-фактора необходимо при кинетических энергиях -частицы, превышающих 22 МэВ.
    В данном примере умножение и деление на константу конверсии позволяет избежать введения явного вида квадрата единичного заряда, используя вместо него хорошо известную величину – постоянную тонкой структуры е²/ћc = 1/137.

Задача 3. Вероятность β-распада нестабильных ядер зависит, в первую очередь, от орбитального момента, уносимого лептонами, вылетающими при распаде. Например, при распаде ядра ⁶⁰Co ⁶⁰Ni + e^- + _e энергетически возможны три канала β-распада: на основное состояние ядра-продукта, первое и второе возбужденные состояния. Эти три состояния никеля имеют, соответственно, значения спинов 0, 2, 4 и положительные четности. Основное состояние ⁶⁰Со имеет спин и четность 5⁺ [2]. Показать, что β-распад с наибольшей вероятностью будет происходить на второй возбужденный уровень (4⁺) ядра никеля.
    Применение закона сохранения момента количества движения к трем возможным каналам распада кобальта показывает, что только при β-распаде на возбужденный уровень со спином 4 орбитальный момент, уносимый электроном и нейтрино, может быть равен нулю. Это т.н. "разрешенный" переход. Он осуществляется почти со 100% вероятностью, хотя энергетически – из трех возможных переходов - он наименее выгоден. Хотя прямое доказательство того факта, что β-распад с нулевым значением орбитального момента лептонов должен иметь наибольшую вероятность, осуществляется лишь методами квантовой теории поля, помочь в понимании этого явления может "классическая" оценка максимального значения орбитального момента лептонов распада. Одновременно эта оценка служит интересной иллюстрацией соотношения классической и квантовой теорий. С классической точки зрения, максимальное значение орбитального момента лептонов распада равно l = Rp_max, где R - радиус ядра (например с А = 60) , а p_max - максимальное значение импульса суммы лептонов. В пределе, когда максимальная кинетическая энергия распада T уносится антинейтрино, T = p_maxc. Тогда максимальный орбитальный момент (в единицах ћ) оказывается равным

<< 1 .

Таким образом, в "классическом" пределе вылет лептонов с ненулевым орбитальным моментом вообще невозможен, "запрещен". Квантовый, т.е. реальный, мир имеет гораздо больше возможностей, но в нем с наибольшей вероятностью происходят именно те события, которые "разрешены" классической физикой.

Задача 4 .При изучении вращательных спектров атомных ядер (см. некоторые примеры таких спектров в [2]) нетрудно оценить момент инерции вращающегося ядра. Рассмотрим, например, вращательный спектр ядра ¹⁷⁰Hf. В таблице даны значения спинов уровней вращательной "полосы", энергии этих уровней и интервалы энергий ΔE между данным уровнем и низшим по энергии. Соотношение энергий уровней вращательной полосы, спинов уровней и соответствующих этим состояниям моментов инерции ядра даны нижеследующими формулами:

.

Таблица. Спины, энергии, интервалы энергий и моменты инерции состояний вращательной полосы ядра ¹⁷⁰Hf.

    Обычно в физике ядра рассчитывают не момент инерции ядра в том или ином состоянии, а величину = 2I/ћ² в единицах МэВ^–1. Результаты расчета этой величины для пяти возбужденных состояний ядра ¹⁷⁰Hf приведены в четвертой строке таблицы.
    Расчет показывает, что момент инерции ядра растет с увеличением момента количества движения и, соответственно, угловой частоты вращения. Этот результат хорошо понятен на основе капельной модели ядра. Важным и интересным фактом, который можно легко продемонстрировать студентам на этом примере, является то, что полученные в расчете моменты инерции как минимум вдвое меньше, чем момент инерции твердотельного ротатора с такой же массой. Нижний предел величины , пропорциональной моменту инерции, можно получить по формуле момента инерции сферы радиуса R (здесь снова удобно использовать константу конверсии):

    Таким образом, проведенный несложный расчет доказывает, что ядро в низших возбужденных состояниях имеет значения момента инерции, составляющие не более 50% момента инерции твердого ротатора с той же массой. Часть нуклонов ядра оказывается не участвующей во вращательном движении вследствие эффекта спаривания нуклонов, приводящего к сверхтекучим свойствам ядер в основном и низших возбужденных состояниях. Разрыв нуклонных пар, происходящий при очень высоких моментах вращения ядер, проявляется в скачкообразном росте момента инерции ядра до величин близких к полученной выше твердотельной оценке. Этот эффект (т.н. бекбендинг) хорошо изучен в последние 20 лет на ускорителях тяжелых ионов.

Задача 5. Оценить радиус слабых взаимодействий по массе промежуточных бозонов W, Z.

Процесс слабого распада состоит в испускании и поглощении виртуального промежуточного бозона. Если Δt − время взаимодействия, а масса бозона представляет собой неопределенность в энергии ΔE, то из соотношения неопределенностей следует, что:

.

Верхний предел радиуса взаимодействия составляет при этом:

    Как следует из приведенных примеров, использование константы конверсии упрощает ход решения целого ряда стандартных задач университетского курса "Физика ядра и частиц". Эта же константа помогает в переходе от обычной системы единиц физики ядра, используемой в данных примерах, к так называемой "естественной системе" [3], в которой ћ = c = 1. Эта система единиц широко используется в физике высоких энергий. В "естественной системе" равна единице и константа конверсии, что позволяет получить соотношение между единицами длины и энергии:

1 ћc200 МэВ·Фм;   1 Фм^-1200 МэВ.

    На ускорителях высоких энергий измеряют характеристики процессов (например, их эффективные сечения) как функции переданного системе импульса. Эта величина на графиках дается либо в энергетических единицах (МэВ или ГэВ), либо в эквивалентных 0.2 ГэВ единицах обратной длины Фм^–1.

1. Particle Physics. Booklet. Springer,1998, or http://pdg.lbl.gov/
2. Субатомная физика. Под редакцией Б.С.Ишханова. Москва, МГУ, 1994.
3. Д. Перкинс. Введение в физику высоких энергий. Москва, Энергоатомиздат,1991.