Рассмотрим теперь одно из важных применений теории групп и их представлений в физике элементарных частиц. Речь пойдет о классификации элементарных частиц с помощью теории групп. В качестве простого примера рассмотрим протон и нейтрон. Давно известно, что протон и нейтрон обладают близкими массами и близкими свойствами относительно сильных взаимодействий. Именно поэтому в сильных взаимодействиях  Гейзенберг предложил рассматривать их как одно состояние. Но для этого надо найти группу, в которой наинизшее нетривиальное представление имеет размерность 2. Попробуем здесь применить формализм группы  SU(2), имеющей 2-мерный спинор в качестве базиса представления. Введем группу изотопических преобразований SU(2)_I. Определим нуклон как состояние c изотопическим спином I = 1/2 с двумя проекциями ( протоном c  I₃ = 1/2 и нейтроном  I₃ = -1/2) в этом придуманном изотопическом пространстве, проводя практически полную аналогию с введением спина 1/2 в обычном пространстве.  Обычно базис двумерного представления группы SU(2)_I записывается как изотопический спинор

что означает, что протон и нейтрон определены как

Представление размерности 2 реализуется матрицами Паули 2×2 τ_k , k = 1, 2, 3 ( вместо σ_i , i = 1, 2, 3, которые мы оставляем для описания спина 1/2 в обычном пространстве), при этом изотопический оператор
τ⁺ = 1/2(₁ + i₂) переводит нейтрон в протон, а τ^- = 1/2(τ₁ - iτ₂), соответственно, переводит протон в нейтрон. Известен также изодублет каскадных гиперонов спина 1/2 Ξ^0,- c массами ~ 1320 МэВ. Давно известны дублет странных мезонов спина 0 K^+,0 с массами ~ 490 МэВ и антидублет их античастиц K^0,-.
    А как описать частицы с I = 1? Скажем, триплет π-мезонов π⁺, π^-, π⁰ спина ноль отрицательной четности с массами m(π^±) = 139.5675 + 0.0004 МэВ, m(π⁰) = 134,9739 + 0,0006  МэВ и практически одинаковыми свойствами по сильным взаимодействиям? В группе (изотопических) вращений мы бы задали изотопический вектор в качестве базиса (где действительные псевдоскалярные поля π_1,2 связаны с заряженными пионами π^± формулами π^± = π₁ + iπ₂, а π⁰ = π₃), генераторы  A_k, k = 1, 2, 3, в качестве представления алгебры и матрицы  R_k, k = 1, 2, 3 в качестве представления группы, где углы _k определены в изотопическом пространстве.
    Используя результаты предыдущего параграфа, изотопическому триплету вещественных полей в  SU(2)_I сопоставляется базис вида

где  заряженные пионы описываются комплексными полями . Итак, пионы могут быть заданы в изотопическом формализме в виде двумерных матриц:

которые образуют базис представления размерности 3, а само представление задается, как уже говорилось, унитарными унимодулярными матрицами 2×2 U. Подобным образом описываются частицы произвольного спина с изоспином I = 1. Из мезонов следует помнить изотриплет векторых мезонов ρ^±,0 c массой ~ 760 МэВ.

    Среди частиц с полуцелым спином укажем, например, изотриплет открытых к началу 60-х годов  странных гиперонов спина 1/2 с массами ~1192 МэВ Σ^±,Σ⁰ который запишется в базисе SU(2) как

Представление размерности 3 задается теми же матрицами U.
    Напомним еще раз, что экспериментально изотопический спин определяется по числу частиц N = (2I + 1), близких по своим свойствам, т.е., имеющим одинаковый спин, близкие (на уровне процента) массы и практически одинаковые свойства по сильному взаимодействию. К примеру, при массе, близкой к 1115 МэВ была обнаружена только одна частица спина 1/2 со странностью S = -1 - это гиперон Λ c нулевым электрическим зарядом и массой 1115,63 + 0,05 МэВ. Естественно, что этой частице был приписан изотопический спин ноль. Таким же образом был определен изоспин I = 0 псевдоскалярного мезона η(548).
    Известен также триплет барионных резонансов со спином 3/2, странностью S = - 1 и массами
M(Σ^*+(1385)) =1382,8 + 0,4 МэВ, M(Σ^*0(1385)) =1383,7 + 1,0 МэВ, M(Σ^*-(1385)) =1387,2 + 0,5 МэВ, (резонансы - это частицы, распадающиеся по сильному взаимодействию и потому обладающие очень коротким временем жизни;  одно время активно обсуждался вопрос, стоит ли их зачислять в "элементарные") или (можно еще встретить другое обозначение для этого резонанса - Y*₁(1385)).
    Известно только одно состояние с изотопическим спином I = 3/2 (т.е., на эксперименте нашли 4 практически одинаковых состояния, отличающихся только зарядом) - это четверка нуклонных резонансов со спином J = 3/2 Δ⁺⁺(1232), Δ⁺(1232), Δ⁰(1232), Δ^-(1232), распадающаяся на пион и нуклон (измеренная разность масс = 2,7 + 0,3 МэВ). ( Используется и другое обозначение - N*(1232).)
    В системе было обнаружено только два резонанса со спином 3/2Ξ^*0,- с массами ~1520 МэВ, поэтому они помещены в изодублет с изоспином I = 1/2.
    Использование формализма изотопического спина позволяет не только экономно расклассифицировать множество сильновзаимодействующих частиц (адронов) по изотопическим мультиплетам, но и связать между собой амплитуды распадов, а также амплитуды рассеяния частиц, входящих в одни и те же изотопические мультиплеты.
    Подробнее мы не будем останавливаться на этих соотношениях, поскольку они являются частью соотношений, возникающих в рамках более высоких групп симметрии, к рассмотрению которых мы и переходим.
    В конце этого раздела напомним еще вид соотношения Гелл-Манна-Нишиджимы между зарядом Q, 3-ей компонентой изоспина I₃ и гиперзарядом Y = S + B, где S - странность, B - барионное число (+1 для барионов, -1 для антибарионов, 0 для мезонов):