 Рис. 1. Нижние уровни ядра  . |
Появление вращательных состояний неизбежно в
несферических квантовых системах, связанных жёсткими (в данном
случае ядерными) силами. Мы уже отмечали, что большинство ядер
несферические. При обсуждении квадрупольных моментов ядер было
показано, что вытянутые ядра имеют положительный квадрупольный
момент, а сплюснутые – отрицательный. Прямое измерение электрических
квадрупольных моментов возможно лишь для ядер, у которых спин больше
или равен 1. Однако многие четно-четные ядра, имеющие спин и
четность , являются несферическими (деформированными), и их
деформация проявляется в спектрах их возбужденных состояний в виде
вращательных полос. Согласно квантовой теории, вращательные степени
свободы присущи исключительно несферическим объектам. Пример
вращательной полосы для четно-четного ядра
показан на рис. 1. В основном состоянии чётно-чётного ядра (т.
е. при отсутствии вращения) его спин Jосн.сост = 0. Если
деформированное ядро вращается с угловым моментом L, то его спин
целиком обусловлен этим вращением и J = L.
 Рис. 2. Вращение ядра, имеющего форму аксиально-симметричного вытянутого эллипсоида. |
Энергии уровней вращательной полосы можно
получить в результате решения уравнения Шредингера с гамильтонианом,
отражающим вращательные степени свободы ядра. Пусть имеется ядро в
виде аксиально-симметричного вытянутого эллипсоида (рис. 2), и ось
симметрии ядра совпадает с осью
z.
Такое аксиально-симметричное ядро, согласно квантовой
механике, способно вращаться лишь вокруг осей x и y,
перпендикулярных оси симметрии z. Вращение вокруг оси симметрии z
невозможно. Действительно, в силу
аксиальной симметрии волновая функция ядра ψ не зависит от угла φ
его поворота вокруг оси симметрии z, т. е. ∂ψ/∂φ = 0. В то же время
компонента оператора орбитального момента количества движения вдоль
оси z имеет вид
z
= -iћ(∂/∂φ), т. е. обращается в нуль для аксиально симметричного
относительно оси z объекта. Таким образом, никакого коллективного
вращения вокруг оси z у такого объекта происходить не может.
Вид вращательного гамильтониана легко получить из принципа
соответствия классических и квантовых величин. В классической физике
энергия вращения тела с моментом инерции
и моментом
количества движения J дается выражением Eвр
= J2/2.
В квантовой физике величине J2 соответствует оператор квадрата момента
,
действующий на волновую функцию Ψ ядра. Поскольку в принятой системе
обозначений спин ядра и частиц измеряется в единицах ћ, то имеем
|
2 =
ћ2J(J + 1)Ψ Eвр = ћ2J(J + 1)/(2 ). |
(1) |
Формула Eвр =
2J(J + 1)/(2),
связывающая энергию вращательного уровня и спина состояния,
приближенно описывает положение уровней во вращательной полосе.
Из (1) следует, что волновой функцией Ψ вращающегося ядра
является собственная функция оператора
2
т. е. сферическая функция YJM.
При этом J = 0,
2, 4,..., что следует из соображений симметрии. Бесспиновое ядро,
имеющее форму аксиально-симметричного эллипсоида, не меняется при
пространственной инверсии (отражении в плоскости xy), т. е.
переходит само в себя (см. рис. 2). Поэтому волновая функция такого
ядра симметрична или чётна, что исключает J = 1, 3, 5,... . Таким образом, чётность вращательных
состояний +1.
В табл. 1 даны интервалы энергий DЕ между данным уровнем и
следующим более низким по энергии.
Таблица 1. Спины J, энергии E, интервалы энергий ΔE
и
величины Θ = 2/ћ2
состояний вращательной полосы ядра
| J | 2 | 4 | 6 | 8 |
| E, МэВ | 0.093 | 0.309 | 0.641 | 1.084 |
| ΔE, МэВ | 0.093 | 0.216 | 0.332 | 0.443 |
| Θ, МэВ-1 | 64.5 | 64.8 | 66.3 | 67.7 |
Соотношение для интервалов энергий может быть получено из (1.9.1):
|
ΔE = EJ −
EJ-2 =
ћ2(4J − 2)/(2). |
(2) |
Обычно рассчитывают не момент инерции ядра, а величину Θ
= 2/ћ2
в единицах МэВ-1. Результаты расчета этой величины для
четырёх возбужденных состояний ядра
приведены в четвертой строке таблицы. Расчет показывает, что момент
инерции ядра растет с увеличением момента количества движения и,
соответственно, угловой частоты вращения. Этот результат хорошо
понятен на основе ядерной модели жидкой капли: с увеличением
углового момента вращения происходит растяжение капли и её момент
инерции растет.
Важным и интересным фактом, который можно легко продемонстрировать
на этом примере, является то, что полученные в расчете моменты
инерции как минимум вдвое меньше, чем момент инерции твердотельного
ротатора с такой же массой. Нижний предел величины Θ,
пропорциональной моменту инерции, можно получить из формулы момента
инерции однородной твёрдой сферы радиуса R (в расчете удобно
использовать константу конверсии):
 |
(3) |
Здесь m − масса сферы (ядра), а MN − масса нуклона. Таким образом,
проведенный расчет доказывает, что ядро в низших возбужденных
состояниях имеет значения момента инерции, составляющие менее 50%
момента инерции твердого ротатора с той же массой. Часть нуклонов
ядра оказывается не участвующей во вращательном движении вследствие
эффекта спаривания нуклонов, приводящего к
сверхтекучим свойствам
ядер в основном и низших возбужденных состояниях. Разрыв нуклонных
пар, происходящий при очень высоких моментах вращения ядер (значениях
J), проявляется в скачкообразном росте момента инерции ядра до
величин близких к полученной выше твердотельной оценке. Этот эффект
(так называемый бекбендинг (backbending)) хорошо изучен в последние
20 лет на ускорителях тяжелых ионов.
По мере приближения к магическим (сферическим) ядрам момент инерции
уменьшается и энергия вращения Eвр увеличивается. При этом
вращательные уровни уходят вверх по энергии.
Коллективные колебания ядра
В сферических и почти сферических ядрах
вращательные состояния отсутствуют или лежат очень высоко, и область
низких энергий в спектре ядерных уровней обусловлена колебаниями
формы ядра вокруг равновесной. При рассмотрении таких колебаний (их
в ядерной физике часто называют вибрациями) помогает аналогия между
ядром и жидкой каплей. В свободном невозбужденном состоянии капля
жидкости принимает сферическую форму. Поэтому легче всего (т. е. с
наименьшей энергией) возбуждаются степени свободы капли жидкости,
соответствующие её малым гармоническим колебаниям вокруг равновесной
сферической формы без изменения объёма. Поскольку ядерная материя
(как и жидкость) с трудом поддаётся сжатию и растяжению, возбуждения
низких энергий сферических ядер также не сопровождаются изменениями
плотности и обусловлены малыми гармоническими колебаниями формы ядра
с сохранением его объёма. При описании таких колебаний можно
использовать, с учётом квантования, математический аппарат, впервые
применявшийся при рассмотрении классических колебаний формы капли
жидкости.
Уже классический подход показывает, что наиболее
существенными среди колебаний формы капли жидкости являются
квадрупольные колебания, т. е. колебания с моментом количества
движения J = 2. В
процессе таких колебаний ядро колеблется относительно сферической
равновесной формы, принимая поочередно вид то вытянутого, то
сплюснутого аксиально-симметричного эллипсоида, меняя знак и
величину квадрупольной деформации. В чётно-чётном ядре
квадрупольному колебанию отвечает возбуждение со спин-чётностью 2+.
Это колебание в модели жидкой капли имеет наименьшую частоту ћ и
энергию ћω2.
Несколько более высокую частоту ω3 имеют
октупольные (J =
3) колебания, при которых ядерная капля в деформированном состоянии
имеет грушевидную форму. Этим колебаниям в чётно-чётном ядре
отвечает возбуждение со спин-чётностью JP
= 3−. Остальные типы собственных колебаний формы
ядерной капли соответствуют деформациям более сложного вида и более
высоким энергиям.
В ядерной модели жидкой капли собственные колебания должны
быть проквантованы. Квантование сводится к тому, что спектры энергий
и моментов количества движения возбужденных колебательных состояний
становятся дискретными. Энергии квадрупольных и октупольных
возбуждений в квантовой теории могут принимать лишь значения
| Еквадр = n2ћω2, Еокт = n3ћω3, | (4) |
где n2,
n3 -
числа соответственно квадрупольных и октупольных квантов, причем n2,
n3 = 1, 2, 3,... . Для квантов коллективных ядерных колебаний обычно
используют термин фононы, заимствованный из физики твёрдого
тела.
В общем виде энергию возбуждения
ядра, в котором одновременно происходят различные поверхностные
колебания формы, можно записать в виде
 |
(5) |
где nJ − число фононов определённого типа, а ћωJ − энергия фонона.
Формулы (3) и (4) лучше всего должны описывать самые низкие
колебательные уровни ядер, т. е. уровни, отвечающие n2,3 = 1, 2.
Действительно, при увеличении n2, n3, во-первых, нарушается
гармоничность колебаний, а во-вторых, становятся энергетически
возможными возбуждения других типов, что резко усложняет
энергетический спектр ядра.
Посмотрим, насколько согласуются с опытными данными предсказания
рассматриваемой модели спектра низколежащих уровней ядер. Если ядро
чётно-чётное, его основное состояние имеет характеристики 0+.
Поэтому первым возбужденным состоянием должен быть уровень,
отвечающий одному квадрупольному фонону с энергией ћω2. Предсказание о
том, что первый возбуждённый уровень имеет характеристики 2+,
выполняется почти для всех сферических ядер. Двухфононный уровень
должен находиться при энергии 2ћω2. Более высокие квадрупольный
возбуждения будут появляться с интервалом в соответствии с
увеличением числа квадрупольных фононов: 3ћω2, 4ћω2 и так далее. Таким
образом, спектр энергий, соответствующий поглощению ядром одного,
двух и более фононов, в первом приближении эквидистантный (напомним,
что решение задачи о квантовом осцилляторе всегда приводит к
эквидистантному спектру энергий).
Последовательное поглощение, например, двух квадрупольных фононов
могло бы дать в результате спин возбужденных состояний
+
=
,
,
,
,
. Однако для
двух, трёх и более квадрупольных фононов возможны не все состояния,
разрешаемые правилами сложения квантовомеханических моментов
количества движения. Так для двух квадрупольных фононов возможны
лишь состояния с характеристиками 0+, 2+ и 4+. Состояния с моментами
1 и 3 запрещены в силу ограничений,
накладываемых статистикой Бозе-Эйнштейна на волновую функцию двух
тождественных фононов (фононы являются бозонами). Поэтому при двух
квадрупольных фононах в чётно-чётном ядре формируются лишь
возбуждения с JP = 0+, 2+ и 4+, в идеальном случае вырожденные по энергии.
Аналогично этому отсутствуют состояния трёх квадрупольных фононов с
моментами 1 и 5.
 Рис. 3. Низколежащие уровни ядер 60Ni и 106Pd. |
Возбуждения низких энергий чётно-чётных сферических ядер, близких к
магическим, подтверждают их колебательную природу, причем остаточное
взаимодействие между нуклонами снимает вырождение состояний с
одинаковым числом фононов, так что эти состояния расщепляются по
энергии. Примерами являются спектры низших возбужденных состояний
четно-четных ядер
и
(рис. 3).
Энергия кванта ћω коллективных гармонических колебаний зависит от
характеристик данного ядра. Для ядер с замкнутыми оболочками или
подоболочками энергия кванта ћω выше, чем для ядер с незамкнутыми
валентными оболочками. На приведенном выше примере ядро является
«магическим» по протонам (Z = 28). Валентная нейтронная подоболочка
этого ядра также замкнута и соответствует конфигурации (2p3/2)4. Поэтому
энергии квадрупольных фононных возбуждений в этом ядре примерно
вдвое выше, чем в ядре 106Pd.
Самое нижнее состояние отрицательной чётности в спектрах
чётно-чётных ядер – это состояние с JP = 3−,
отвечающее одному октупольному фонону. Энергия такого фонона
приблизительно равна энергии двух квадрупольных фононов (исключение
составляют дважды магические ядра, где энергия октупольного фонона
ниже энергии квадрупольного). Состояния отрицательной чётности могут
быть получены также комбинацией одного квадрупольного фонона и
одного октупольного фонона. Эти состояния располагаются выше по
энергии, чем уровень 3−. Энергия одного гексадекапольного
фонона (J = 4), имеющего в чётно-чётном ядре характеристики JP
= 4+, приблизительно в три раза превышает энергию одного
квадрупольного фонона.
B деформированных ядрах наряду с вращательными состояниями
возможны также состояния, связанные с колебаниями формы ядра. Так,
например, несферическое ядро, испытывая гармонические колебания
формы, может при этом вращаться с различными скоростями, что
приводит к вращательной полосе, построенной на этом вибрационном
состоянии.
