|
Частица массы m находится в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины (рис. 1). Потенциальная энергия U удовлетворяет следующим граничным условиям
U(x) = { |
 x < 0, x > L0 0 < x < L |
(1) |
При таких граничных условиях частица находится внутри потенциальной ямы 0 < x < L и не может выйти за ее пределы, т.е.
|
(2) |
Условие нормировки
|
(3) |
Используя станционарное уравнение Шредингера для случая U = 0, получим
|
(4) |
или
|
(5) |
,где
a2 = 2mE/ |
(6) |
Уравнение (5) описывает положение частицы внутри потенциальной ямы. Оно имеет решение
|
(7) |
представляющее собой суперпозицию двух волн,
распространяющихся в противоположных
направления вдоль оси x.
Постоянные A и B находятся из граничных
условий (2)
A + B = 0 при x = 0 т.е. B = -A. |
(8) |
Следовательно
|
(9) |
Условие ψ(L) = 0 дает
2ia sin aL = 0. |
(10) |
Отсюда
aL = n |
(11) |
Подставляя полученное значение a в соотношение (6), получим соотношение для энергии частицы в бесконечной прямоугольной яме
En = |
(12) |
Волновые функции (9) имеют вид
|
(13) |
Константу A можно получить из условия
Нормированные волновые функции и собственные значения энергии для различных состояний приведены в табл. 1.
Таблица 1.
| n | Собственные функции  |
Плотности вероятности * |
Собственные значения энергии |
| 1 | i(2/L)1/2sin( x/L) |
(2/L)sin2(x/L) |
2 2/2mL2 |
| 2 | i(2/L)1/2sin(2x/L) |
(2/L)sin2(2x/L) |
422/2mL2 |
| 3 | i(2/L)1/2sin(3x/L) |
(2/L)sin2(3x/L) |
922/2mL2 |
| n | i(2/L)1/2sin(nx/L) |
(2/L)sin2(nx/L) |
n222/2mL2 |
На рис. 2 показаны плотности вероятности
обнаружения частицы в различных квантовых
состояниях.
Таким образом, для бесконечной
одномерной потенциальной ямы имеем следующее.
- Энергия частицы принимает определенные дискретные значения. Обычно говорят, что частица находится в определенных энергетических состояниях.
- Частица может находиться в каком-то одном из множества энергетических состояний.
- Частица не может иметь энергию равную нулю.
- Каждому значению энергии En соответствует
собственная волновая функция n, описывающая данное состояние.
- Для собственной функции 1(x)
вероятность обнаружить частицу в точке x = L/2
максимальна. Для состояния 2(x) вероятность обнаружения частицы
в этой точке равна 0.
|
В случае гармонического осциллятора потенциальная энергия U имеет вид
U = kx2/2. |
(14) |
Станционарное уравнение Шредингера для гармонического осциллятора имеет вид
|
(15) |
Также как и в случае прямоугольной потенциальной ямы наблюдается дискретный спектр энергий состояний
En = (n + 1/2)h |
(16) |
где 
= (k/m)1/2.
Однако в отличие от прямоугольной ямы, спектр
энергий эквидистантный. Каждому энергетическому
состоянию соответствует волновая функция,
описываемая полиномом Эрмита Hn.
|
(17) |
|
(18) |
где a2 = 42m
/h, ζ= ax.
В табл. 2 приведены собственные значения
энергии En и нормированные собственные
функции гармонического осциллятора n
Таблица 2
| n | Собственные значения энергии En | Нормированные собственные
функции n |
| 0 | E0 = h/2 |
0 =  e-a2x2/2 |
| 1 | E0 = 3h/2 |
1 =  2axe-a2x2/2 |
| 2 | E0 = 5h/2 |
2 =  (4a2x2 - 2)e-a2x2/2 |
| 3 | E0 = 7h/2 |
3 =  (8a3x3 - 12ax)e-a2x2/2 |
| n | En = (n + 1/2)h |
n =  Hn(ax)e-a2x2/2 |
|
На рис. 3 показана плотность распределения
волновой функции гармонического осциллятора.
Классический осциллятор не может
выйти за пределы значений x, в которых
потенциальная энергия равна энергии En для
данного значения квантового числа n. В квантовом
случае ситуация другая - существует отличная от
нуля вероятность обнаружить частицу за
пределами потенциальной ямы, т.е. частица может
проникать на небольшое расстояние за стенку
барьера.
|
|
17.01.14