Собственные значения и собственные функции оператора квадрата момента ² находятся из решения уравнения

В сферической системе координат уравнение (1) имеет вид

Уравнение (2) имеет решение, удовлетворяющее стандартным условиям только при определённых дискретных значениях l² = ²l(l + 1), где l - целое положительное число (включая и нуль).
    Собственными функциями оператора квадрата момента являются сферические функции Y_lm(,) описывающие состояние с заданным моментом l и его проекцию m на ось z.

где - полином Лежандра (m = 0, +1,..., +l),

    В качестве примера приведены сферические функции для l = 0, 1, 2.

Y_l,m(,) = Y_l,-m(,)

    Проекции _x, _y, и _z, оператора удовлетворяют коммутационным соотношениям

_xy - _yx = i_z,
_yz - _zy = i_x,
_zx - _xz = i_y.

Аналогичным коммутационным соотношениям удовлетворяют проекции оператора полного момента и спина ŝ. Операторы полного, орбитального моментов и спина связаны соотношением

= + ŝ.

Операторы полного момента и спина ŝ удовлетворяют тем же уравнениям на собственные значения как и оператор орбитального момента количества движения.
    Квадрат момента количества движения ² любой изолированной системы также принимает дискретный набор значений

² = ²J(J + 1),

где J - либо целое число (J = 0, 1, 2, ...), либо полуцелое число (J = 1/2, 3/2,  ...)
Величина J для собственных моментов обычно называется моментом количества движения.
    При заданной величине J проекция момента J_z на ось z принимает 2 J + 1 значений от -J до +J через единицу.

-J, -(J - 1), ..., (J-1), J.

Аналогичные соотношения можно написать и для операторов и ŝ.
Момент количества движения J₃ сложной системы состоящей из двух подсистем с моментами J₁ и J₂ определяется соотношением

₃² = (₁ + ₂⁾² = ²J₃(J₃ + 1),

где J₃ может принимать значения

J₃ = ( J₁ + J₂ ), ( J₁ + J₂ -1 ), ...., | J₁ - J₂ |

15.11.15