Наличие у частицы волновых свойств
приводит к тому, что в квантовой физике ей
сопоставляется волновая функция 
(x,y,z,t).
Физический смысл волновой
функции. Величина |(x,y,z,t)|2dV
пропорциональна вероятности того, что частица
будет обнаружена в момент времени t в объеме dV в
окрестности точки (x,y,z).
Волновая функция системы
невзаимодействующих частиц (r1,r2,...rn,t) связана с
одночастичными волновыми функциями i(ri,t) соотношением
(r1,r2,...rn,t)
= 1(r1,t)·2(r2,t)·...n(rn,t).
Свободное движение частицы
Волновая функция свободно движущейся частицы с энергией E и импульсом p имеет вид
(r,t) = Aexp[i(kr - 
t)] = Aexp[i(pr - Et)/
] .
Константа A может быть найдена из условия нормировки волновой функции
A = (2
)-3/2.
Т.е. в тех случаях, когда частица находится в области пространства, где действующие на нее силы равны нулю (свободное движение), энергия частицы может принимать любые значения. Энергетический спектр свободно движущейся частицы непрерывный.
Частица в прямоугольной яме с бесконечными стенками
Если область пространства, в которой может находится частица ограничена, возникает дискретный спектр энергий. Рассмотрим это на примере одномерной прямоугольной ямы c бесконечными стенками
Частица всегда находится в области 0 < x < a.
Вне ее = 0. Запишем
уравнение Шредингера для одномерного случая
|
(1) |
Его решение
|
(2) |
где k = (2mE/2)1/2.
Из граничных условий и условий непрерывности
имеем
Из (3) получим
т.е. внутри ямы устанавливаются стоячие волны, а энергия состояний принимает дискретные значения
Энергии состояний растут квадратично от n. |
|
Каждому значению энергии соответствует волновая функция, которую с учетом условия нормировки
|
(6) |
можно записать в виде
|
(7) |
(см. рис.1). В отличие от классической частицы,
квантовая частица в прямоугольной яме не может
иметь энергию E < 22/(2ma2).
Частица в потенциале гармонического осциллятора
Потенциал гармонического осциллятора (так же, как и в предыдушем примере рассмотрим одномерный случай)
|
(8) |
где 0= (k/m)1/2 -
собственная частота колебаний гармоничекого
осциллятора. Решение уравнения Шредингера для
этого потенциала можно записать в виде
|
(9) |
где hn(x) - полиномы степени n, b(x) = (km)1/2x2/2. Спектр значений
энергий имеет вид
En = |
(10) |
Энергетический спектр гармонического осциллятора эквидистантный - уровни находятся на одинаковом расстоянии друг от друга.
|
|
24.12.12