Теория электромагнитных взаимодействий – квантовая электродинамика (КЭД) является наиболее надежной и разработанной из физических теорий. Предсказания КЭД выполняются с высокой точностью. (Примером является рассмотренные в разделе 6 эффекты рождения пар кварков и мюонов при аннигиляции электронно-позитронных пар).
    Диаграммы Фейнмана являются не только иллюстрацией, но и основой методики расчета вероятности электромагнитных процессов. Электромагнитные процессы подчиняются почти всем законам сохранения (кроме закона сохранения изоспина ) Вероятности электромагнитных процессов, например распадов частиц с вылетом γ-квантов, меньше вероятностей распадов по сильным взаимодействиям. Сравним средние времена жизни частиц, распадающихся благодаря сильным и электромагитным взаимодействиям. Примером первого процесса является распад любого из Δ-резонансов:

Δ⁺⁺ → p + ⁺;   Г = 120 МэВ.

Зная ширину резонансного пика Δ-частицы, можно оценить ее среднее время жизни (см. задачу 5.3):

Г = .

    Средние времена жизни частиц, распадающихся по электромагнитному каналу, гораздо больше. Например, среднее время жизни нейтрального пиона τ = 8.4·10^-17 с. Среднее время жизни нейтрального Λ-гиперона, распадающегося на Λ-гиперон и -квант, составляет τ = 7.4·10^-20 с. Заряженные пионы и заряженные Σ-гипероны имеют средние времена жизни примерно на 9 порядков выше, чем их нейтральные партнеры по изоспиновым мультиплетам. Это различие во временах жизни связано с тем, что нейтральные пион и Σ-гиперон распадаются благодаря электромагнитному взаимодействию, а заряженные – за счет слабого взаимодействия. Анализ диаграмм Фейнмана для электромагнитных взаимодействий адронов показывает, что при электромагнитных распадах не происходит превращения одного кварка в другой. Аннигиляция электрон-позитронной пары в два γ-кванта (семинар3) также не изменяет природу частицы в вершине (узле) диаграммы.
    Взаимопревращение кварков друг в друга и одних лептонов в другие происходит за счет слабого взаимодействия.
    Слабое взаимодействие, ответственное за -распад ядер и частиц, рассматривалось в течение 50 лет как взаимодействие четырех фермионов. Действительно, в этих взаимодействиях может участвовать 4 фермиона, например

n  → p + e^- + _e; ... μ^- →  e^- + _e + ν_μ.

Cуществуют распады частиц по каналам слабых взаимодействий, в которых не происходит вылета нейтрино (или антинейтрино), а превращаются друг в друга сильно взаимодействующие частицы – адроны. Например,

Λ  →  p + π^-;  K⁺  → ⁺ + π⁰;  Ξ^-  → Λ + π^-.

Эти процессы происходит за времена на 8 –9 порядков большие, чем электромагнитные распады, т.е. это распады по слабым взаимодействиям. Каков – на уровне диаграмм Фейнмана – механизм этих процессов? На этот вопрос физики-теоретики Вайнберг, Глэшоу и Салам нашли следующее решение: слабые взаимодействия являются, как и электромагнитные, обменными взаимодействиями. Но осуществляются они благодаря обмену тяжелыми промежуточными бозонами. В 1982-83 годах
Карло Руббиа открыл промежуточные бозоны W⁺, W^- и Z⁰ на ускорителе SPS в европейском научном центре CERN. Массы покоя этих частиц оказались очень большими, больше 80 ГэВ. (Ответственный за электромагнитные взаимодействия -квант также является промежуточным бозоном, но, в отличие от W⁺, W^-, Z⁰ его масса покоя 0). Эксперимент подтвердил, таким образом, внутреннее единство процессов электромагнитного и слабого взаимодействия. Была создана единая теория электрослабых взаимодействий.

    Диаграммы Фейнмана для слабых взаимодействий строятся так же, как и ДФ для электромагнитных взаимодействий. В обоих случаях в вершинах диаграмм должны выполнятся все дискретные законы сохранения для данного типа взаимодействий, например, универсальный закон сохранения электрического заряда. Поскольку частица, которая осуществляет взаимодействие – виртуальная, законы сохранения энергии и импульса в вершинах временно нарушаются, но выполняются для процесса в целом. В слабых взаимодействиях обмен осуществляется путем рождения и поглощения массивных виртуальных частиц W⁺, W^-, Z⁰. Это приводит к очень малому радиусу слабых взаимодействий (см. далее задачу 7.4). Созданная Ферми в в 30-х годах ХХ века теория слабых взаимодействий, как теория точечного взаимодействия 4-х фермионов, очень неплохо объясняла экспериментальные данные β-распадов именно в силу малости радиуса слабых взаимодействий.
    Нейтральный Z⁰ = Z бозон был обнаружен благодаря его распадам на кварк- антикварк, что приводило к регистрации струй адронов. (Родившиеся кварки при разлете обрастают кварк-антикварковыми парами. В итоге формируются пучки адронов, летящие в направлениях вылета первичных кварков – струи (jet)). Другие каналы распада Z бозонов:

Z →  е⁺ + е^- и Z  →  μ⁺ + μ^-.

Z бозоны ответственны за слабые процессы рассеяния части без изменения их зарядов в вершинах (т.н. нейтральные токи). Пример такого процесса – рассеяние нейтрино друг на друге.
    Нейтрино, впервые обнаруженные в β-распаде ядер, участвуют только в слабых взаимодействиях (и гравитационных, хотя измерить эти последние взаимодействия нейтрино пока не удается). Экспериментальное исследование реакций с нейтрино выявили следующие их характеристики:

1. Нейтрино и антинейтрино – разные частицы. Частица, излучаемая вместе с электроном в β-распаде ядер – антинейтрино. Опыт показал, что антинейтрино не вызывают реакцию образования ядер аргона из ядер хлора, которая идет при участии нейтрино (например, нейтрино, которые излучаются Солнцем – опыт Дэвиса):
   + ³⁷Cl³⁷Ar + e^-;
   + ³⁷Cl³⁷Ar + e^-.
2. Нейтрино и антинейтрино бывают трех разных типов (flavor), соответствующих трем поколениям фундаментальных фермионов. Каждому из поколений лептонов, по современным представлениям, должно быть приписано свое квантовое число – лептонный заряд (L_e, , ), которое сохраняется во всех взаимодействиях. Сохранение этого квантового числа объясняет отсутствие электромагнитных распадов мюонов е + . В слабом распаде лептонные заряды сохраняются.
   μ^- e^- + _e + ν_μ;   ∑ L_μ =1, ∑ L_e= 0.
   μ⁺ e⁺ + ν_e + _μ;  ∑ L_μ=1, ∑ L_e= 0.
       Отличие мюонных и электронных нейтрино доказано прямыми экспериментами на пучках мюонных антинейтрино, которые возникают при распадах отрицательных пионов. Доказано, что при захвате этих нейтрино протонами возникают положительные мюоны и нейтроны, но не возникают позитроны и нейтроны:
   _μ + p n + μ⁺;
   _μ + p n + e⁺.
   Вторая реакция не происходит!
3. Масса нейтрино очень мала даже по сравнению с массой электрона. (По последним данным, масса электронного нейтрино меньше 2 эВ, измерение масс мюонных и тау-нейтрино еще более затруднительно, чем электронных нейтрино). Проблема массы нейтрино относится к важнейшим проблемам физики частиц и физики космоса.
4. Нейтрино обладает еще одной характеристикой – спиральностью h. Если нейтрино и антинейтрино – частицы безмассовые, то нейтрино имеет точное значение этого квантового числа, равное –1, а антинейтрино +1. Отсутствие распадов нейтральных пионов на нейтрино и антинейтрино является следствием этого правила (см.далее семинар 8).

Диаграммы Фейнмана для слабых взаимодействий. Промежуточные бозоны

    Правила построения диаграмм Фейнмана для электромагнитных и слабых процессов во многом одинаковы: 1) линии фермионов не прерываются; 2) связь фермионов осуществляется бозонами (-квантами для электромагнитных и W, Z бозонами для слабых взаимодействий); 3) каждой вершине соответствует константа взаимодействия; 4) все дискретные законы сохранения выполняются в каждой вершине; 5) закон сохранения энергии выполняется в целом для всего процесса, но нарушается в вершинах – соединяющие две вершины линии фермионов или бозонов соответствуют т.н. виртуальным частицам, для которых E² - P² m².

Задача 7.1. Изобразить ДФ распада мюона μ- e- + e + νμ

    Диаграммы Фейнмана для слабых взаимодействий строятся так же, как и ДФ для электромагнитных взаимодействий. В обоих случаях в вершинах диаграмм должны выполнятся все дискретные законы сохранения для данного типа взаимодействий, например, универсальный закон сохранения электрического заряда. Поскольку частица, которая осуществляет взаимодействие – виртуальная, законы сохранения энергии и импульса в вершинах временно нарушаются, но выполняются для процесса в целом.
    При построении ДФ для этого процесса следует, как и в случае электромагнитных взаимодействий, учесть, что главный вклад вносит низшая по числу вершин диаграмма (рис. 7.1). Отметим, что в вершинах соблюдаются законы сохранения лептонных зарядов L_μ и L_e.
     Согласно современным представлениям, существует 3 отдельных закона сохранения лептонных зарядов L_e, L_μ и L_τ. При лептонных распадах в вершинах сохраняются значения лептонных зарядов. Отметим, что как в диаграмме распада нейтрона, так и распада мюона обменной частицей может быть как положительный, так и отрицательный W- бозон. Выбор его знака зависит от выбора направления линии бозона. (Напомним, что в вершинах выполняется закон сохранения электрического заряда). Распад нейтрона относится к т.н. “полулептонным”, или лептон-адронным, распадам – в результате превращения адронов появляется пара лептонов. Распад мюона – лептонный, адроны в нем не участвуют. Существуют слабые процессы, в которых лептоны вообще не участвуют, например, адронные распады

Σ^-→ n + π^-, Ξ^-→ Λ + π^-.

    Слабые взаимодействия могут происходить с превращением кварков или лептонов одного аромата (flavor) в кварки и лептоны другого. Поэтому в слабых распадах не сохраняются ни изоспин, ни странность, ни шарм (charm). Нарушаются и законы сохранения topness и bottomness. Нарушения законов сохранения лептонных зарядов не наблюдалось.
    Слабые распады идут с нарушением аддитивных законов сохранения I,s,c,b,t.
    В слабых взаимодействиях нарушаются также мультипликативные законы сохранения пространственной и зарядовой четностей.
    Обмен заряженными W^- или W⁺ промежуточными бозонами связан с изменениями зарядов фермионов в вершине. “Треххвостка”, состоящая из двух фермионных линий, вершины и бозонной линии, называется “током”. Обмен заряженными W^- или W⁺ бозонами реализует заряженные токи. Обмен нейтральным Z-бозоном соответствует взаимодействию нейтральных токов.

    Как нейтрон, так и протон – барионы, состоящие из кварков. На рис.7.2 показаны два варианта изображения этого распада. Соответствующие обменам W или Z бозонам “слабые” вершины обладают еще одной особенностью, которой не имеют ни “сильные”, ни электромагнитные вершины – в этих вершинах может происходить превращение одного кварка в другой. Поэтому взаимопревращения адронов – результат слабых взаимодействий. Например, -распаде нейтрона происходит превращение d- кварка в u-кварк при испускании виртуального W-бозона.

На этой диаграмме один из кварков, составляющих нейтрон, d-кварк, превращается благодаря испусканию виртуального W^- бозона в u-кварк протона. Превращение кварков (изменение “аромата” = ”flavor”) – свойство, присущее только слабым взаимодействиям. Именно благодаря слабым взаимодействиям тяжелые барионы и мезоны, содержащие кварки второго и третьего поколений, превращаются в более легкие барионы и мезоны.

Задача 7.3. Изобразить диаграмму Фейнмана для распадов нейтрального и заряженного пионов. Оценить отношение констант слабого и электромагнитного взаимодействий, учитывая, что средние время жизни нейтрального и заряженных -мезонов: (0) = 8.4·10-17 с; (+) = (-) = 2.6·10-8 с.

Рис.7.3

На рис. 7.3 показаны ДФ электромагнитного распада π⁰ мезона и слабого распада π⁺. Обе ДФ – второго порядка по константам взаимодействия. Вероятности распадов пропорциональны квадратам констант взаимодействия . Отношение вероятностей распадов нейтрального и заряженного пионов обратно отношению их средних времен жизни. Отсюда

Поскольку константа α_e электромагнитного взаимодействия равна 1/137, константа слабого взаимодействия, согласно этой (весьма приближенной) оценке, α_w < 10^-6.

    В слабых взаимодействиях обмен осуществляется путем рождения и поглощения массивных виртуальных частиц - промежуточных бозонов W⁺ ,W^-, Z⁰. Оценим, используя соотношение неопределенности, максимальное расстояние между фермионами, обменивающимися виртуальным промежуточным бозоном W. Для виртуальной частицы неопределенность в значении энергии равна ее энергии покоя: ΔE ≈ M_wc². Энергия покоя W бозона около 80 ГэВ. Это приводит к очень малому радиусу слабых взаимодействий:

ΔEΔ ≈   →  R_W < cΔt ≈ c/M_w ≈ 0.2 ГэВ·Фм / 80 ГэВ ≈ 3·10^-16 см

Полученный результат объясняет тот факт, что созданная Ферми в в 30-х годах ХХ века теория слабых взаимодействий, как теория точечного взаимодействия 4-х фермионов, очень неплохо объясняла экспериментальные данные -распадов.

Задача 7.5. Построить диаграмму Фейнмана для наблюдаемого распада Σ- →  n + e- + e. Объяснить, почему не наблюдается распад Σ+ → n + e+ + νe.

    В распаде Σ^- →  n + e^- + _e происходит превращение s- кварка в u-кварк. Одной их возможных Д.Ф. является диаграмма слабого взаимодействия на рис.7.4. В результате распада виртуального W^- бозона рождается пара лептонов.
    Для распада Σ⁺ →  n + e⁺ + ν_e невозможно построить диаграмму второго порядка, поскольку Σ⁺ барион и нейтрон отличаются не одним, а двумя кварками: Σ⁺(uus), n(udd). Процесс превращения двух кварков в два других не только на несколько порядков менее вероятен, но и должен сопровождаться рождением не одной, а двух пар лептонов.

Задача 7.6. Построить диаграмму Фейнмана распада -бариона. Какие законы сохранения нарушаются в этом распаде?

    Наиболее вероятный канал распада Λ-бариона Λ →  p + π^-. Λ(uds), p(uud), π^- (d). В распаде Λ-бариона не сохраняются странность и изоспин. Странность меняется на 1: ΔS = 1. Изменение изоспина равно |Δ| = 1/2.

    Вероятность. распада К⁺ → μ⁺ + ν_μ, диаграмма Фейнмана которого показана на рис. 7.6, составляет около 66% полной вероятности распада этого мезона. 22% вероятности распада принадлежит
К⁺ → π⁺ + π⁰ каналу. В распаде К⁺ → μ⁺ + ν_μ странность не сохраняется ΔS = 1.

Задание 3

1. Оценить среднее время жизни W и Z промежуточных бозонов.
2. Построить диаграмму Фейнмана для распада нейтрона.
3. Оценить верхний предел радиуса слабых взаимодействий из условия, что взаимодействие осуществляется за счет рождения и поглощения виртуального промежуточного W –бозона.
4. Проверить выполнение законов сохранения и построить кварковые диаграммы реакций сильного взаимодействия: K^- + p → Σ^- + π⁺; π^- + p → Λ + K⁰; π^- + pπ⁰ + n.
5. Идентифицировать частицу Х в реакции сильного взаимодействия К^- + p → X + K⁺ + K⁰. Построить кварковую диаграмму реакции.
6. Рассчитать минимальную энергию пучков в коллайдере, необходимую для протекания реакции e^- + e⁺ → W^- + W⁺.
7. Рассчитать кинетическую энергию мюона в распаде пиона.
8. Построить диаграмму Фейнмана для этого процесса.
9. Составить сравнительные таблицы квантовых чисел для протона и антипротона и для любой пары мезон-антимезон.
10. Рассчитать кинетическую энергию электрона, рождающегося при распаде мюона. Построить диаграмму Фейнмана для этого распада.
11. Рассчитать энергию столкновения электрона и позитрона на коллайдере LEP. Энергии пучков равны по 100 ГэВ.
12. Какие из перечисленных распадов возможны, a какие невозможны и почему : Σ⁰ → Λ + π⁰ ;
    Ω^- → Λ + K^-; Ω^-  → Λ + π^-.
13. Почему не наблюдается распад -мезона на два пиона?
14. Почему наблюдается распад Σ^- → n + e^- + ν_e, но не зафиксирован распад Σ⁺ → n + e⁺ + ν_e?
15. Почему не обнаружен распад μ⁺ → e⁺ + γ?
16. Сравнить средние времена жизни заряженных Σ-гиперонов и нейтрального Σ-гиперона. Дать объяснение различию времен жизни.