Семинар 7

Спонтанный распад любого объекта физики микромира (ядра или частицы) возможен в том случае, если масса продуктов распада меньше массы первичной частицы. Разность масс первичной частицы и продуктов распада распределяется среди продуктов распада в виде их кинетических энергий. Распады на два продукта и на три или более характеризуются разными энергетическими спектрами продуктов распада. В случае распада на две частицы спектры продуктов распада - дискретные. В случае, если частиц в конечном состоянии больше двух, спектры продуктов имеют непрерывный характер.

Задача 4.2. Получить формулу для кинетических энергий продуктов распада X → A + B в случае нерелятивистских скоростей частиц А и В.

Законы сохранения энергии и импульса для распада следует записывать в системе координат, связанной с распадающейся частицей (или ядром). Для упрощения формул удобно использовать систему единиц ћ = c = 1, в которой энергия, масса и импульс имеют одну и ту же размерность (МэВ). Законы сохранения для данного распада:

M_X = M_A + T_A + M_B + T_B
0 = _A + _B
p_A = (2M_AT_A)^1/2 = p_B = (2M_BT_B)^1/2

(4.10)

Сумма кинетических энергий продуктов определяется разностью масс T_A + T_B= ΔM = M_X - M_A - M_B, а отношение кинетических энергий T_A/T_B = M_B/M_A Отсюда получаем для кинетических энергий продуктов распада

T_A = ΔM·M_B/(M_A + M_B );
T_B = ΔM·M_A/(M_A + M_B ).

(4.11)

Таким образом, в случае двух частиц в конечном состоянии кинетические энергии продуктов определены однозначно. Этот результат не зависит от того, релятивистские или нерелятивистские скорости имеют продукты распада. Для релятивистского случая формулы для кинетических энергий выглядят несколько сложнее, чем (4.11), но решение уравнений для энергии и импульса двух частиц опять-таки является единственным. Если в конечном состоянии возникает три (или более) продуктов, решение уравнений для законов сохранения энергии и импульса не приводит к однозначному результату. В дальнейшем на примере
β-распадов эта ситуация будет рассмотрена детально.
Полученная формула (4.11) для кинетических энергий продуктов распада применима, например, к α-распадам ядер. Большинство тяжелых ядер с А>208 нестабильны относительно α-распада.

Задача 4.3. Найти кинетические энергии α-частицы и ядра отдачи в распаде радия

Разность масс радия и продуктов его распада
ΔM = M(226, 88) - M(222, 86) - M(4, 2) = Δ(226, 88) + 226 - Δ(222, 86) - 222 - Δ(4, 2) - 4 =
=Δ(226, 88) - Δ(222, 86) - Δ(4, 2) = (23.662 - 16.367 - 2.424) МэВ = 4.87 МэВ

(Здесь были использованы таблицы избытков масс нейтральных атомов из [1].)

Кинетические энергии:

Задача 4.4. Рассчитать энергии частиц, рождающихся в распаде π⁺-мезона
Распад π⁺-мезона происходит на две частицы: π⁺→ μ⁺+ ν_μ. Масса π⁺ мезона равна 139.6 МэВ, масса мюона равна 105.7 МэВ. Точное значение массы мюонного нейтрино ν_μ пока неизвестно, но установлено, что она не превышает 0.15 МэВ. В приближенном расчете можно положить ее равной 0, поскольку она на несколько порядков ниже разности масс пиона и мюона. Так как разность масс π⁺-мезона и продуктов его распада равна 33.8 МэВ, для нейтрино необходимо использовать релятивистские формулы связи энергии и импульса. В дальнейшем расчете малой массой нейтрино можно пренебречь и считать нейтрино ультрарелятивистской частицей. Законы сохранения энергии и импульса в распаде π⁺ мезона:

m_π = m_μ + T_μ + E_ν
0 = _μ + _ν

E_ν = p_ν

Энергия мюонного нейтрино π⁺ распада равна
E_ν = (m_π − m_μ) − T_μ ≈ 29.8 МэВ.
Примером двухчастичного распада является также излучение -кванта при переходе возбужденного ядра на низший энергетический уровень.

Задача 4.5. Определить энергию γ-кванта и кинетическую энергию отдачи при девозбуждении ядра (¹²С)*, находящегося в первом возбужденном состоянии с квантовыми числами 2⁺, Е = 4.43 МэВ.

Законы сохранения в системе покоя возбужденного ядра имеют вид:

p_c = p_γ = E_γ
E_exc(¹²C) = M(¹²C*) − M(¹²C) = 4.43 МэВ = T_c + E_γ

Поскольку второй член (энергия отдачи) в последнем уравнении на несколько порядков меньше первого, вместо решения квадратного уравнения удобно применить метод последовательных приближений:

В данном случае нет смысла уточнять первое приближение для энергии -кванта - поправка равна энергии отдачи ядра и она меньше последней значащей цифры в полученном результате для энергии испущенного ядром электромагнитного кванта.
Во всех двухчастичных распадах, проанализированных выше, продукты распада имеют “точное” значение энергии, т.е. дискретный спектр. Однако более глубокое рассмотрение этой проблемы показывает, что спектр даже продуктов двухчастичных распадов не является δ-функцией энергии. Спектр продуктов распада имеет конечную ширину Г, которая тем больше, чем меньше время жизни распадающегося ядра или частицы:

Г·τ = ћ

(4.12)

(Это соотношение является одной из формулировок соотношения неопределенностей для энергии и времени).

Задача 14.5. Найти среднее время жизни ядра ¹²С в первом возбужденном состоянии, если ширина спектра энергии γ-кванта, излучаемого ядром равна Г = (10.8 + 0.6)·10^-6 кэВ (См. предыдущую задачу)

Время жизни низшего по энергии возбужденного состояния 2⁺ с энергией Е = 4.43 МэВ

Ширина уровня в данном случае примерно в 10⁹ раз меньше энергии излученного - кванта, что и позволяет считать спектр γ-квантов дискретным.

4.3. Бета-распад

β-распад является примером процесса, в котором происходит рождение частиц, отсутствующих в начальном состоянии системы. ( При -распадах ядер происходит вылет из первичного ядра т.н. кластера, т.е. связанного состояния частиц, которые находились в ядре до распада).

Примером β-распада является распад нейтрона:
n p + e- + _e.
Среднее время жизни нейтрона = (886.7 + 1.9) с
    Масса нейтрона больше суммы масс протона и электрона, что и определяет возможность его спонтанного распада. Массы электронного нейтрино и антинейтрино меньше 15 эВ и в расчетах
β- распада их можно считать равными 0.
    Следует отметить, что проблема строгого равенства ( или неравенства) 0 нейтринных масс представляет собой важнейшую задачу современной физики. Данные последних экспериментов свидетельствуют в пользу неравенства нулю масс нейтрино.
    В ядрах как нейтроны, так и протоны находятся в связанном состоянии. Спонтанные превращения связанных в ядре нуклонов друг в друга возможны и определяются соотношением масс начального ядра и продуктов распада. β-распад ядер может происходить с вылетом электронов (β^--распад) , с вылетом позитронов(β⁺-распад) и путем захвата электрона с оболочек атома (е-захват). Ниже приведены примеры этих процессов:

¹⁴С¹⁴N + e^- + _e     (β⁻)
¹¹С¹¹B + e⁺ + _e    (β⁺)
⁷Be + e^-⁷Li  + _e     (e)

(4.13)

Рассмотрим закон сохранения энергии для этих процессов. Напомним, что в таблицах для масс (или избытков масс [1]) приведены массы нейтральных атомов, к которым и следует привести уравнения для законов сохранения. В дальнейших выкладках массы нейтральных атомов не помечены индексами, а для масс ядер введен индекс N(nucleus).

Для β^--распада:

M_N(Z, A) = M_N(Z + 1, A) + m_e + T_N + T_e + E_ν
M(Z, A) = M_N(Z + 1, A) + Z·m_e
M(Z, A) = M(Z + 1, A) + T_N + T_e + E_ν

(4.14)

Для β⁺-распада получим аналогичным образом из уравнения для масс ядер уравнение для масс нейтральных атомов:

M(Z, A) = M(Z - 1, A) +2 m_e + T_N + T_e + E_ν

(4.15)

Для е-захвата:

M(Z, A) = M(Z - 1, A) + T_N + E_ν

(4.16)

Сравнение двух последних уравнений показывает, что для двух ядер-изобар е-захват имеет менее “жесткие” энергетические условия, чем β⁺-распад. (В обоих случаях происходит превращение ядер-изобар с превращением одного из протонов в нейтрон). Однако поскольку е-захват представляет собой захват ядром электрона с атомной оболочки, вероятность этого процесса пропорциональная вероятности W “пребывания электрона внутри ядра”,т.е.

sem7_18.gif (438 bytes)

(4.17)

Вероятность захвата К-электрона во много раз выше, чем электронов с других атомных оболочек, т.к. для К-электронов величина интеграла (4.17) больше, чем для электронов других оболочек.
Законы сохранения энергии для β^-и β⁺ - распадов имеет важную общую особенность. В обоих случаях число уравнений (закон сохранения энергии + закон сохранения импульса) на единицу меньше числа неизвестных - кинетических энергий продуктов реакций. Следствием этого факта является непрерывный спектр продуктов этих процессов распада. Именно непрерывный характер спектра электронов β⁻-распада послужил доказательством существования нейтрино задолго до его непосредственного экспериментального обнаружения. Спектры продуктов трехчастичных распадов имеют т.н “верхнюю границу”- максимальное значение кинетической энергии. Оно соответствует той кинематической ситуации, когда данная частица имеет направление импульса, противоположное импульсам обеих других частиц.

4.2. Законы сохранения в распадах

4.3. Бета-распад