Модель оболочек (продолжение семинара 4)

    На семинаре 4 была рассмотрена простейшая версия ядерной модели оболочек - одночастичная модель оболочек без учета кулоновского взаимодействия между протонами. Эта модель дает неплохие результаты для легких ядер, где кулоновское взаимодействие не играет важной роли. Для ядер с A > 40 энергию отталкивания протонов уже нельзя не учитывать при модельном заполнении оболочек. Однако, прежде, чем рассмотреть ядра с A > 40, обсудим проблему спинов и четностей ядер.

Спины и четности ядер в модели оболочек

    Суммарный момент системы одинаковых нуклонов, заполняющих любую подоболочку, равен 0 независимо от квантовых чисел подоболочки и числа (2j+1) заполняющих ее нуклонов (нейтронов или протонов). Это важное правило является следствием того факта, что среди заполняющих подоболочку (2j+1) одинаковых нуклонов будут обязательно находиться нуклоны с равными по абсолютной величине, но разными по знаку проекциями полного момента нуклона на выделенную ось. Такие пары одинаковых нуклонов имеют суммарный полный момент, равный 0. Поэтому суммарные моменты как нейтронов, так и протонов на заполненной подоболочке равны 0. По этой причине и спины основных состояний всех ядер с заполненными оболочками или подоболочками равны 0.
   Экспериментально доказано, что равны нулю спины основных состояний всех четно- четных ядер. т.е. как ядер с заполненными подоболочками или оболочками, так и ядер, у которых на подоболочке находятся по четному числу протонов или нейтронов. Объяснение этого экспериментального факта - наличие в ядерных взаимодействиях не учтенных в предыдущем изложении одночастичной модели оболочек сил - т.н. сил спаривания. Необходимо отметить, что замена всех действующих между нуклонами сил самосогласованным потенциалом со спин-орбитальным членом (например,(3.14)) является довольно грубым модельным приближением. Не учтенные в (3.14) силы называются силами остаточного взаимодействия и играют важную роль в формировании свойств ядер. Важнейшим компонентом сил остаточного взаимодействия являются силы спаривания.
    Действие сил спаривания (pairing forces) приводит к тому, что для любых двух одинаковых нуклонов наиболее выгодным по энергии (т.е. низшим) состоянием будет состояние с полным моментом 0 или, иначе говоря, с противоположными направлениями проекций полного момента на выделенную ось. Для всех четных по Z и по N ядер это приводит к значениям спина 0 в основном состоянии.
    Пространственная четность основных состояний всех четно-четных ядер положительна.
Четность - мультипликативное квантовое число. Поскольку собственная четность нуклонов +1, то пространственная четность ядерного состояния определяется произведением четностей волновых функций. Для любого состояния нуклона с квантовыми числами l,s,j

Для ядра как системы A нуклонов пространственная четность есть произведение четностей (3.21) всех нуклонов:

Для всех заполненных оболочек и подоболочек четность положительна, поскольку для них в показателе степени (3.22) будет стоять четное число. Поэтому и у всех четно-четных ядер в основном состоянии четность положительна.
    Принято указывать одновременноо спин и четность состояния системы в виде J^P. (Здесь P является не степенью, а символом четности состояния). Для всех четно- четных ядер в основном состоянии J^P = 0⁺.
   Спин и четность основного состояния ядра с одним нуклоном сверх замкнутой оболочки или подоболочкаи определяется моментом и четностью неспаренного нуклона. Спин ядра является векторной суммой спина ядра с А нуклонами и неспаренного нуклона, но спин ядра с А нуклонами 0, если это ядро с замкнутой оболочкой или подоболочкой. Четность основного состояния ядра с одним нуклоном сверх замкнутой оболочки или подоболочки определена четностью (-1)^l неспаренного нуклона. Поскольку

Рассмотрим теперь ядра, у которых до заполненной оболочки или подоболочки недостает одного нуклона. Эти ядра часто называют ядрами с одной “дыркой” относительно замкнутой подоболочки или оболочки. У всех таких ядер спин и четность определяются моментом и четностью “отсутствующего” нуклона, т.е. моментом и четностью “дырки”. Действительно,

Здесь момент недостающего нуклона обозначен как j_h, где h соответствует обозначению “дырки” “hole”. Аналогично (3.23) получим для четности ядра с одной “дыркой”

Ядро ¹³С в основном состоянии имеет следующую конфигурацию нуклонов |1s_1/2>⁴ |1p_3/2>⁸ | 1p_1/2>¹_n.
Неспаренный нейтрон имеет полный момент 1/2. Следовательно, спин ядра ¹³С в основном состоянии 1/2. Четность основного состояния ¹³С определена (см.(3.23)) как (-1)^l. Поскольку неспаренный нейтрон находится в 1р оболочке, четность отрицательна. Итак, для ядра ¹³С J^P=(1/2)^-, что объясняет экспериментальный результат.
Для ядра ¹⁷О нуклонная конфигурация основного состояния |1s_1/2>⁴ |1p_3/2>⁸| 1p_1/2>⁴ | 1d_5/2>¹_n. 
Отсюда спин и четность его основного состояния J^P=(5/2)⁺, что соответствует экспериментальной величине.

Ядро ³He соответствует нейтронной “дырке” в дважды магическом ядре ⁴Не. Соответственно, его спин и четность соответствуют моменту 1/2 и четности (-1)^l  = + 1 недостающего нейтрона. Следовательно  J^P = (1/2)⁺.
   Для ядра ¹¹B спин и четность определяет недостающий до замкнутой подоболочки протон в состоянии 1р_3/2, соответственно у ядра ¹¹B - J^P = (3/2)^-.
    Следует обратить внимание на важное правило: как частицы над замкнутой конфигурацией, так и дырки относительно нее могут рассматриваться одинаковым образом. Иногда и те и другие в научной литература называют “квазичастицами”.
    Одночастичная модель оболочек объясняет значения спинов и четностей ядер с одной “квазичастицей” сверх замкнутой конфигурации, т.е. полностью заполненной оболочки или подоболочки. Часто эту модель применяют для того, чтобы рассмотреть спины и четности ядер, у которых сверх замкнутой конфигурации имеется более одной квазичастицы. Рассмотрим один из таких примеров как задачу.

    Конфигурация основного состояния этого ядра   1s_1/2>⁴ |1p_3/2>³  причем сверх замкнутой оболочки дважды магического ядра ⁴Не в 1р оболочке находится два нейтрона и один протон. Два нейтрона за счет сил спаривания имеют полный суммарный момент 0, поэтому спин и четность ядра определены моментом и четностью неспаренного протона, т.е. . J^P=(3/2)^-. Этот модельный результат совпадает с экспериментальным.
    Ядра с двумя протонами либо двумя нейтронами сверх замкнутой оболочки ( или подоболочки) - четно-четные ядра с J^P=0⁺. Но ядра с одном протоном и одном нейтроном сверх замкнутой подоболочки - нечетно-нечетные. Для двух разных нуклонов на незамкнутой “валентной” подоболочке принцип Паули не препятствует тому, чтобы они имели одинаковые проекции момента на выделенную ось и, соответственно, суммарный момент не равный нулю. Например, ядро ¹⁴С с двумя нейтронами над замкнутой подоболочкой 1р_3/2 (ядром ¹²С) имеет в основном состоянии J^P = 0⁺ и конфигурацию нуклонов |1s_1/2>⁴|1p_3/2>⁸| 1p_1/2>²_n,  а ядро ¹⁴N имеет в основном состоянии конфигурацию |1s_1/2>⁴|1p_3/2>⁸| 1p_1/2>¹_n | 1p_1/2>¹_p и спин и четность этого состояния J^P = 1⁺. Таким образом, моменты протона и нейтрона в валентной подоболочке ¹⁴ N параллельны и сложились в 1.(Напомним, что спин системы протон- нейтрон , т.е. дейтрона, также 1). Низшее по энергии - т.е. основное- состояние ядер с протонной и нейтронной “дырками” относительно замкнутой подоболочки - ядра ¹²С в основном состоянии - также имеет спин, соответствующий максимально возможному моменту пары квазичастиц. Например, ядро ¹⁰В имеет конфигурацию основного состояния 1s_1/2>⁴|1p_3/2>⁶ = |1p_3/2>^-1_n|1p_3/2>^-1_p(¹²C)> При этом моменты двух квазичастиц -протонной и нейтронной “дырок” - складываются в максимальный суммарный момент 3. Отсюда для ядра ¹⁰В J^P = 3⁺.

Ядро ²⁶Al в основном состоянии соответствует протонной и нейтронной “дыркам” относительно ядра ²⁸Si:

Сумма моментов протонной и нейтронной “дырок” равна 5. J^P(²⁶Al) = 5⁺.

Низшее по энергии состояние системы нуклонов с замкнутыми оболочками или подоболочками можно считать состоянием физического вакуума. (В предыдущем примере неявным образом физическим вакуумом было объявлено основное состояние ядра ²⁸Si). В дальнейшем это представление будет очень удобным при рассмотрении возбужденных состояний ядер.
    Если при возбуждении ядра, т.е. при поглощении ядром некоторой энергии, эта энергия передается одному нуклону над замкнутой оболочкой или подоболочкой, этот неспаренный нуклон будет переходить на более высокие уровни энергии, а остальные нуклоны ядра (т.н. кор) будут оставаться в прежних невозбужденных состояниях. Такие возбуждения называются одночастичными. В спектрах возбуждения ядер с одним нуклоном над замкнутой оболочкой или подоболочкой можно выделить уровни, соответствующие одночастичным возбуждениям.

Спектр ядра ¹⁷О

5.08-------------¦ 3/2⁺

4.55-------------¦ 3/2^-

3.85-------------¦ 5/2^-

3.06 ------------¦ 1/2^-

0.87------------- 1/2⁺

0 ------------- 5/2⁺

E, МэВ                 J^p

Основное состояние ¹⁷О соответствует одному нейтрону над замкнутой оболочкой:

|1s_1/2>⁴ |1p_3/2>⁸| 1p_1/2>⁴ | 1d_5/2>¹_n

Переходы неспаренного нейтрона с подоболочки 1d _5/2 на более высокие подоболочки 2s_1/2 и 1d_3/2 соответствуют возбужденным состояниям 1/2⁺ и 3/2⁺ в спектре ¹⁷О.
Разность энергий 3/2⁺ и 5/2⁺ уровней в спектре ¹⁷О является следствием спин-орбитального расщепления. Константу а в (3.14) можно оценить из этой разности энергий.

Из формулы (3.20) разность энергий состояний нуклона с j = l + 1/2 = 5/2 и j = l -1/2 = 3/2 находим

Следовательно a ≈ -2 МэВ

    Как видно из приведенного спектра ядра ¹⁷О, только некоторые из возбужденных состояний этого ядра можно считать одночастичными возбуждениями. Природа других возбужденных состояний этого же ядра более сложная. Например, низший уровень 1/2 ^- с энергией возбуждения 3.06 МэВ является результатом перехода одного нуклона из замкнутой подоболочки 1р_1/2 в следующую 1d _5/2, причем два нуклона в 1d _5/2 состояниях имеют суммарный момент 0. Спин и четность ядра при этом будут определены полным моментом “дырки” в 1р_1/2 подоболочке и орбитальным моментом, т.е. составлять J^P = 1/2 ^-.

    В данной задачу удобно принять основное состояние ядра ¹²С за физический вакуум: |O> = |1s_1/2>⁴ |1p_3/2>⁸ , тогда переход нуклона в следующую подоболочку эквивалентен рождению частично- дырочной пары над вакуумным состоянием. Спин такого возбужденного состояния равен векторной сумме моментов частицы и “дырки”:

Низшим по энергии возбужденным состоянием ядра ¹²С является состояние J^P = 2⁺, Е = 4.44 МэВ.
При энергии 12.7 МэВ находится состояние с квантовыми числами J^P = 1⁺. Столь большое различие в энергиях частично-дырочных возбуждений (9.8) является следствием двух причин. Во-первых, частица и дырка взаимодействуют между собой и энергия их взаимодействия зависит от их суммарного момента (спина состояния). Во-вторых, частично-дырочное представление низших возбужденных состояний ядер является приближенным, волновые функции реальных состояний более сложные.
    Рассмотрим четность частично-дырочных возбужденных состояний. Поскольку четность основного состояния ядра ¹²С (принятого за физический вакуум) положительна, четность возбужденных состояний равно произведению четности частицы и “дырки”. В данном примере и та и другая имеют отрицательную четность, что дает в итоге положительную четность возбужденного состояния.

Принимая основное состояние ¹⁶O за физический вакуум, имеем для возбужденного состояния. возникающего вследствие перехода нуклона из 1р_1/2 в следующую подоболочку 1d_5/2:

Четности этих возбужденных состояний отрицательны, т.к. являются произведениями отрицательной четности”дырки” и положительной четности частицы. В спектре энергий ядра ¹⁶O при Е = 6.13 МэВ присутствует 3^- состояние и при Е = 8.87 МэВ - 2^- состояние. Важно отметить, что низшим по энергии возбужденным состоянием ядра ¹⁶O является состояние 0⁺, которое невозможно интерпретировать в рамках одночастичной модели оболочек.

    Рассмотрим изоспины возбужденных состояний ядер. В случае одночастичных возбуждений  переходы нуклона на более высокие подоболочки в той же оболочке не меняют изоспин ядра. Для частично-дырочных возбуждений   возможны два значения изоспина возникающего возбужденного состояния, соответствующие двум значениям векторной суммы изоспинов квазичастиц:
=  +  = ,1 Низшим по энергии возбуждения оказываются состояния с изоспином 0. Состояния с более высокой энергий возбуждения могут иметь изоспин 1, причем проекция изоспина остается равной проекции изоспина для основного состояния ядра - она определена числом протонов и нейтронов данного ядра. Для ядра ¹²С, например, низшее по энергии возбужденное состояние с изоспином 1 имеет характеристики J^P = 1⁺,Е = 15.11 МэВ. Конфигурация этого состояния частично-дырочная, она дана в (3.26).
Из этого следует важный вывод: остаточные взаимодействия между квазичастицами зависят от изоспина.
   Изложение основ одночастичной модели оболочек (ОМО) в разделе 3 ( как и в любой другой теории) было бы неполным, если бы не были указаны границы ее применения. Понимание того, в каких случаях простейшая версия ОМО, изложенная выше, применима, а в каких случаях не применима, возникает при изучении характеристик всех легких ядер и сравнении для них результатов ОМО с экспериментом. Наиболее показательный случай расхождения предсказаний ОМО с потенциалом (3.14) с экспериментом - спины нечетных ядер с А = 19.21 и 23. В этих ядрах оболочка с = 2 является частично заполненной. Например, для ядра ¹⁹F

Можно было бы предположить, что спин основного состояния этого ядра должен быть равен моменту неспаренного протона, т.е. составлять J^P = 5/2⁺. Однако экспериментальное значение J^P = 1/2⁺. Это и подобные ему расхождения в предсказаниях простой ОМО и эксперимента позволили разобраться в причинах того, что для некоторых ядер ОМО в том виде, который изложен в разделе 3, дает адекватное описание опытных данных, а в некоторых случаях ее предсказания неверны. Суть дела состоит в том, что ОМО в предыдущем изложении годилось только для сферических ядер или ядер, близких к сферическим. Использованный выше потенциал (3.14) соответствовал сферическому распределению нуклонов в ядре. Однако большая часть ядер сферическими не является, хотя и обладает осью симметрии. Для этих ядер одночастичный потенциал зависит от угла между радиус-вектором квазичастицы и осью симметрии:

Оператор Гамильтона с потенциалом (3.27) продолжает коммутировать с проекцией момента на выделенную ось (ось симметрии), но не коммутирует с оператором квадрата полного момента. Это означает, что величина J уже не является “хорошим” квантовым числом, однако ее проекция является. Решения у.Ш. для энергий зависят от модуля проекции момента |J_k| = K. Эта величина К является спиновой характеристикой уровня.  Деформация частично снимает вырождение по проекции момента. На каждом из уровней с данными К может находиться не более 4 нуклонов: два протона и два нейтрона с противоположными проекциями момента на ось симметрии ядра.

Модель оболочек для средних и тяжелых ядер. Роль кулоновского взаимодействия

    Во всех предыдущих расчетах и комментариях не был учтен тот факт, что на протоны ядра помимо сильного взаимодействия ( которое было приближенно учтено введением самосогласованного потенциала со спин-орбитальным членом), действует также кулоновское отталкивание со стороны других протонов ядра. Роль этого члена во взаимодействии была сравнительно невелика для легких ядер, но для средних и тяжелых ядер влияние кулоновского потенциала влияет на ход заполнения подоболочек и оболочек. Иными словами, если нейтроны ядра можно считать находящимися в потенциале (3.14), то для протонов в это выражение должен быть добавлен член, характеризующий кулоновское отталкивание протонов:

Решения у.Ш. для энергий протонов в потенциале (3.14) + (3.28) выше, чем решения у.Ш. для нейтронов в потенциале (3.14). Эта разность растет с числом протонов в ядре. Поскольку протонные уровни выше нейтронных, средние и тяжелые ядра с заполненными подоболочками имеют больше нейтронов, чем протонов. Максимальная энергия нуклонной конфигурации, соответствующая ситуации, когда все уровни выше этой энергии не заполнены, а ниже - заполнены, называется энергией Ферми. Для ядра ⁴⁸Са, например, энергия Ферми соответствует энергии нейтронов в полностью заполненной нейтронами подоболочке (1f_7/2)⁸. Это ядро обладает особой устойчивостью и является первым дважды магическим ядром с превышением числа нейтронов над числом протонов. Таким образом, магическое число 28 - следствие влияния кулоновского потенциала на заполнение ядерных подоболочек.

Спин и четность  четно-четного ядра ⁵⁸Ni  равны 0⁺. Для того, чтобы убедиться в правильности построенной конфигурации, рассмотрим изотопы никеля с А = 57 и А = 59, т.е. с одной нейтронной  «дыркой» и одной нейтронной частицей относительно основного состояния изотопа с А = 58. Согласно построенной схеме, эти изотопы должны иметь, соответственно, один нейтрон в 2р_3/2 подоболочке (А = 57) или три  нейтрона в той  же   подоболочке. В обоих случаях спин и четность  изотопов никеля с А = 57 и А = 59 должен составить 3/2^-, что соответствует экспериментальным данным.

Ядро ниобия с А=91 в основном состоянии имеет один протон сверх магического ядра  ⁹⁰Zr 1g_9/2. Спин и четность ядра ⁹¹Nb в основном состоянии определяются полным моментом и значением орбитального момента неспаренного протона, отсюда J^p = (9/2)⁺ что совпадает с опытными данными.

Указанные ядра в основном состоянии представляют собой, соответственно, протонную и нейтронную «дырки» в основном состоянии ядра  ⁹⁰Zr. Основному состоянию «дырочного»   ядра ⁸⁹Y соответствует протонная дырка в «валентной» подоболочке 2р_1/2 . Отсюда спин и четность основного состояния ⁸⁹Y - J^p = (1/2)^-.  Для ядра ⁸⁹Zr  спин и четность определены моментом и четностью нейтрона в  подоболочке1g_9/2. Поэтому для этого ядра J^p = (9/2)⁺. Оба результата подтверждаются экспериментальными данными.