©hoo$e ЛAнg?Age©///?Ang?Age® Ekohomei©A TALKiNg ?.?.м.?.

geo.rf.gd

   

Упражнение 4.1

Оцените энергию нулевых колебаний одномерного гармонического осциллятора.

Энергия нулевых колебаний одномерного осциллятора может быть записана в виде

где справа выполнено усреднение по движению нуклона в основном остоянии (в квантовой механике значение физической величины в некотором состоянии всегда определяется как среднее по этому состоянию). Неопределенность импульса и координаты в основном состоянии характеризуется среднеквадратичными флуктуациями
и .
Но для среднеквадратичных флуктуаций импульса и координаты существует точная оценка нижней границы их произведения: deltaxdeltapx > splank.gif (65 bytes)/2 (уточненная формулировка соотношения (принципа) неопределенности Гейзенберга). Выражая из этого соотношения deltax через deltapx, мы найдем, что минимальная энергия осциллятора (энергия в основном состоянии) может быть переписана в форме

E0 = (deltapx)2/(2m) = (1/8)msplank.gif (65 bytes)2omega1.gif (56 bytes)2/(deltapx)2.

Диференцируя это выражение по (delta.gif (75 bytes)px)2, найдем, что минимум E0 достигается при (deltapx)2 = msplank.gif (65 bytes)omega1.gif (56 bytes)/2. Он равен splank.gif (65 bytes)omega1.gif (56 bytes)/2. Это и есть искомая энергия нулевых колебаний одномерного гармонического осциллятора.

Упражнение 4.2

Получите выражение для спин-орбитального потенциала Vls, усредняя спин-орбитальный член

1/2VLS (|1-2|) [(1-2) x (1-2)] (s1+s2)

нуклон-нуклонного взаимодействия.

Средний потенциал Vls(1), действующий на нуклон 1, может быть представлен в виде

где производится усреднение по переменным vecp1.gif (73 bytes)2 vecs1.gif (59 bytes)2 и интегрирование по vecr1.gif (60 bytes)2. В силу сферической симметрии задачи при усреднении выпадут все члены, содержащие векторы vecp1.gif (73 bytes)2 и vecs1.gif (59 bytes)2 как множители. Ядерную плотность (vecr1.gif (60 bytes)2) можно апроксимировать выражением

(vecr2) = (vecr1.gif (60 bytes)1) + (vecr1.gif (60 bytes)2 -vecr1.gif (60 bytes)1)nabla.gif (67 bytes)(vecr1.gif (60 bytes)1) +... + (vecr1.gif (60 bytes)1) + (vecr1.gif (60 bytes)2 -vecr1.gif (60 bytes)1)(vecr1.gif (60 bytes)1/r1) ((vecr1.gif (60 bytes)1)/r1) +...,

так как потенциал VLS (|1-2|) отличен от нуля только вблизи т. vecr1.gif (60 bytes)1. Учитывая это получим

Но интеграл

Следовательно,
Vls(l) = C(1/r1)((vecr1.gif (60 bytes)1)/r1)l1s1
где

Упражнение 4.3

Выведите формулу Шмидта для одночастичного магнитного момента одн

Умножая обе стороны равенства (4.14) на   j = l + s, получим одн =(0/(gl+gs),

jодн = 0{(1/2)(gl + gs)j(j + 1) + (1/2)( gl - gs)[l(l + 1) - 3/4]}

Теперь усредним это соотношение по движению нуклона в ядре. Момент количества движения j сохраняется при движении, поэтому усреднение на него не подействует. При усреднении же вектора 0 получим
одн = (0/)gjj,
где gj - гиромагнитный множитель для одночастичного движения. Заменяя далее j2 на 2j(j+1) найдем

gj = gl ± (gs - gl)/(2l + 1) при j = l ± 1/2 .

Откуда следует, что

одн = 0 gj j = 0 j[gl ± (gs - gl)/(2l + 1)] при j = l ± 1/2 .

Упражнение 4.4

Используя данные, приведенные на рис. 4.4, оцените константу спин-орбитальной связи Cls (см. формулу (4.11)) для ядер 57Ni и 209Pb. Сравните полученные результаты с оценками, найденными по формуле (4.12).

Спин-орбитальное расщепление уровней (1/2)- и (3/2)- ядра 57Ni, которые интерпретируются в одночастичной оболочечной модели как состояния p1/2 и p3/2, равно 1.05 МэВ. Подставляя эту величину в формулу (4.11), находим Cls = 1.05/(1 + 0.5) = 0.7 МэВ. С другой стороны из формулы (4.12) находим, что
Cls = 20·57-2/3 = 1.3 МэВ. Для ядра 209Pb в спектре энергетических уровней наблюдаются два спин-орбитальных дублета: g7/2 - g9/2 и d3/2 - d5/2. Из первого дублета находим Cls = (2.49 - 0)/(4 + 0.5) = 0.55 МэВ, из второго получаем Cls = (2.54 - 1.57)/(2 + 0.5) = 0.39 МэВ. По формуле (4.12) находим
Cls = 20·209-2/3 = 0.57 МэВ. Сравнивая эти цифры, следует иметь в виду, что формула (4.12) дает усредненную по многим ядрам и оболочкам константу спин-орбитального взаимодействия. Поэтому проведенная на рис. 4.4 интерпретация ядерных уровней представляется вполне оправданой. Вместе с тем обнаруженная нестыковка цифр (0.55 МэВ и 0.39 МэВ) для одного и того же ядра (209Pb) свидетельствует о необходимости усовершенствовать простую одночастичную модель.

Упражнение 4.5

Оценить энергетическое расстояние w между соседними осцилляторными оболочками в ядрах с массовыми числами А = 40 и А = 200.

По формуле (4.5) находим omega = 12 Мэв для А = 40 и homega.gif (909 bytes) = 7 Мэв для А = 200. Таким образом, с ростом массового числа А расстояние между соседними оболочками уменьшается.

Упражнение 4.6

Оцените магнитный момент для основного состояния ядра 133Cs.

Ядро 133Cs имеет четное число нейтронов (78) и нечетное число протонов (55). Согласно одночастичной модели, свойства нечетного ядра определяются нечетной, неспаренной частицей. Как видно из схемы одночастичных уровней, приведенной на рис. 4.2, в основном состоянии ядра 133Cs неспаренный протон должен находиться на орбите 1g7/2, вмещающей 8 нуклонов одного сорта (все нижележащие протонные орбиты заполнены в соответствии с принципом Паули). Для расчета магнитного момента воспользуемся формулой Шмидта (4.19) для случая j = l - 1/2:
одн = 0j[gl - (gs - gl)/(2l + 1)]. Подставляя сюда гиромагнитные отношения gl и gs из (4.15), (4.16) и значения j = 7/2, l = 4, получим одн = 1.720. Экспериментальное значение магнитного момента 133Cs в основном состоянии равно 2.50.

Упражнение 4.7

Используя схему одночастичных уровней, приведенную на рис. 4.2, определите спин J и четность p основных состояний изотопов Zr c A = 86 - 94.

Все изотпы циркония имеют Z = 40. При изменении массового числа от 86 до 94 происходит заполнение нейтронных одночастичных уровней, так как N меняется от 46 до 54. При этом вначале заполняется орбита 1g9/2 (N = 46-50), затем орбита 1g9/2 (N = 51-54). Согласно одночастичной оболочечной модели все четные изотопы циркония будут иметь Jπ = 0+, тогда как нечетные изотопы будут иметь  Jπ = (9/2)+ при А < 90 и (7/2)+ при A > 90.

[Оглавление][Коллективные модели ядра]

На головную страницу

Top.Mail.Ru