Изоспиновая инвариантность ядерных процессов

В темах 3 – 4 были рассмотрены «всеобщие» законы сохранения 1 – 5, а также их применение к конкретным задачам.
Ряд законов сохранения (6–9) выполняются только в определенных типах взаимодействий (сильных - s, электромагнитных - elm , слабых - w):

    Законы сохранения момента количества движения и пространственной четности (3, 6) часто используют совместно для получения правил отбора (см. также Тему 4) в реакциях с ядрами и частицами.
    Обсуждение свойств ядер и реакций с ними редко выходит за рамки законов сохранения, относящихся к первому поколению фундаментальных фермионов. Поэтому в список законов 1 - 9 не вошли законы сохранения квантовых чисел странность, чарм (charm) и других характеристик частиц и процессов высоких энергий.
    В список не включен также закон сохранения проекции изоспина, поскольку он является следствием законов сохранения барионного и электрического зарядов.

Спин π-мезонов равен 0. Спин протона − 1/2. Спин Δ⁺⁺ резонанса − 3/2.
Определим суммарный орбитальный момент протона и π-мезона в системе центра инерции:

Из закона сохранения момента количества движения нельзя сделать однозначного вывода об орбитальном моменте L системы пион-нуклон в данной реакции. Но этот вывод можно сделать, если учесть еще один закон сохранения, выполняющийся в сильных и электромагнитных взаимодействиях: мультипликативный закон сохранения пространственной четности
∏P = Const. Четность всех Δ-резонансов положительна (+1).Собственная четность протона также +1. Пионы имеют отрицательную собственную четность, поскольку это - системы кварк-антикварк с орбитальным моментом 0, а четности кварков и антикварков противоположны по знаку:

Четность системы пион-нуклон в реакции равна произведению четностей частиц и орбитальной четности:

Таким образом, с помощью закона сохранения пространственной четности удалось сделать однозначный выбор из двух значений орбитального момента (1 или 2), возможных по закону сохранения момента. Реакция образования Δ идет при орбитальном моменте системы пион-нуклон, равном 1 (или, как говорят, в р-канале).

1. Изоспин в ядерных реакциях и распадах

Задача 8.2. Проанализировать закон сохранения изоспина и его проекции в реакции образования и распада Δ⁺⁺- и Δ⁺-резонансов:

π⁺ + p → Δ⁺⁺ → π⁺ + p;
π⁰ + p → Δ⁺ → π⁺ + n.

Законы сохранения изоспина и его проекции для первого процесса:

π⁺ + p → Δ⁺⁺ → π⁺ + p
+ = = + ;
1 + (+1/2) = +3/2.

Законы сохранения изоспина и его проекции для второго процесса:

π⁰ + p → Δ⁺ → π⁺ + n
+ = = + ;
0 + (+1/2) = +1/2 = 1 + (−1/2).

Задача 8.3. Ядро ⁹⁰Zr поглощает Е1 γ-квант с изоспином 1. Определить спин, четность и изоспин возбужденных состояний ядра.

γ + ⁹⁰Zr→ (⁹⁰Zr^*)_J.

    Поскольку спин основного состояния ⁹⁰Zr равен 0, спин возбужденного состояния определяется однозначно как J = 1. Четность в электромагнитных возбуждениях сохраняется, отсюда P = −1,
J^P = 1^-. Векторное сложение изоспина основного состояния ⁹⁰Zr( = , T_z = −5) и изоспина γ-кванта дает
    Однако значение изоспина 4 не является физическим, т.к. при возбуждении ядра проекция его изоспина не меняется! Проекцию -5 могут иметь только значения изоспина 5 или 6. Вывод: при изовекторном дипольном (Е1) возбуждении ядра ⁹⁰Zr возникают возбужденные состояния этого ядра со спином и четностью J^P = 1^- и двумя возможными значениями изоспина 5 и 6.
    Исследование возбужденных состояний ядер показало, что уровни с изоспином более высоким, чем изоспин основного состояния ядра, находятся при более высоких энергиях возбуждения (см., например, спектр ядра ¹²С). Этот факт является следствием зависимости ядерных сил от изоспина (напомним, что от проекций изоспинов ядерные силы не зависят).

Задача 8.4. Проанализировать возможности распадов изоспиновых ветвей Т = 5 и Т = 6 по протонным и нейтронным каналам в основные состояния ядер-продуктов: (⁹⁰Zr^*)_J → ⁸⁹Zr + n; (⁹⁰Zr^*)_J → ⁸⁹Y + p.

Рассмотрим применение закона сохранения изоспина в нейтронном и протонном распадах. Изоспин основного состояния ⁸⁹Zr равен T = |(40-49)/2| = 9/2. Изоспин основного состояния ⁸⁹Y
T = |(39-50)/2| = 11/2.
Распад возбужденных состояний ⁹⁰Zr с изоспином Т = 5 по нейтронному и протонному каналам соответствует следующим векторным равенствам:

Оба соотношения выполняются, что означает, что распад по этим каналам не запрещен.
Однако распад возбужденных состояний ⁹⁰Zr с изоспином Т = 6 по нейтронному каналу в основное состояние ⁸⁹Zr невозможен:

Эта ситуация изображена на рис. 8.1:

Рис. 8.1. Возбуждение и распад ядра ⁹⁰Zr.

2. Изоспиновые мультиплеты и изобар-аналоговые состояния

Состояния с одним и тем же изоспином, но разными проекциями изоспина являются членами изоспиновых мультиплетов. К таким мультиплетам относятся, например, нуклоны – протон и нейтрон составляют изоспиновый дублет; π⁺, π⁰, π^- -мезоны (изоспиновый триплет); Δ^-- ,Δ⁰-, Δ⁺- и Δ⁺⁺-резонансы (изоспиновый квадруплет). Члены изоспиновых мультиплетов одинаковым образом участвуют в сильных взаимодействиях, но имеют разные электромагнитные свойства.

Рис. 8.2. Низшие уровни ядер с А = 14.

    Примерами изоспиновых дублетов являются т.н. «зеркальные» ядра. Схема уровней ядер с А = 17 приведена в тексте Темы 2. Схема уровней ядер с А = 14 (рис. 8.2) дает пример изоспинового триплета. В число членов этого триплета входят основные состояния ядер ¹⁴C, ¹⁴O и первое возбужденное состояние ядра ¹⁴N. Члены этого триплета имеют одинаковый изоспин Т = 1 и разные проекции изоспина Т₃ = −1, 0, +1. Кулоновское взаимодействие протонов увеличивает энергии состояний и снимает вырождение по изоспину. Члены триплета поэтому имеют разные энергии уровней. Однако волновые функции этих состояний имеют очень близкую структуру, поскольку сильные взаимодействия, формирующие ее, одинаковы для членов триплета. Сильные взаимодействия не зависят от проекций изоспинов! Проявлением этого качества членов триплета является тот факт, что β-переходы из нестабильного ядра ¹⁴O происходят с вероятностью ~99% на первый возбужденный уровень ядра ¹⁴N. Это фермиевский (F) β-переход, который происходит без перестройки волновой функции системы нуклонов. Такие переходы называются сверх-разрешенными и имеют наибольшую вероятность. β-распад ядра ¹⁴C идет с изменением изоспина и структуры волновой функции ядра. β-переходы с изменением изоспина относятся к гамов-теллеровскиму (GT) типу.
    В средних и тяжелых ядрах кулоновское взаимодействие значительно сильнее, чем в легких. Поэтому для членов изоспинового мультиплета уровни ядер с Z + 1 расположены гораздо выше, чем уровни ядер с меньшим количеством протонов. Состояния ядер (A,Z) со значениями изоспина, одинаковыми с состояниями ядер с меньшими значениями Z, называются изобар-аналоговыми состояниями (ИАС = IAS). Например, в спектре ядра ³³S возбужденное состояние с энергией 5.5 МэВ и изоспином Т = 3/2 является ИАС по отношению к основному состоянию ядра ³³P (рис. 8.3).
    Определение значений изоспинов возбужденных состояний атомных ядер возможно, например, в сравнительном исследовании спектров ядерных реакций. Например, в реакциях неупругого рассеяния протонов, электронов, дейтронов и альфа-частиц на ядрах. Основным механизмом возбуждения ядра в этих реакциях неупругого рассеяния являются сильные взаимодействия, в которых выполняется закон Сохранения изоспина.
    Рассмотрим применение этого закона на примере ядерных реакций неупругого рассеяния частиц на ядре азота ¹⁴N. В результате неупругих процессов рассеяния часть энергии налетающей частицы передается ядру азота. Какие из состояний, показанных на рис. 8.2, могут быть конечными состояниями в результате реакций (α,α'), (d,d'), (p,p')?
    Анализ закона сохранения изоспина для реакций сильного взаимодействия (α,α'), (d,d')

¹⁴N + ⁴He → ¹⁴N^* + ⁴He,
¹⁴N + ²H → ¹⁴N^* + ²H.

приводит к выводу, что уровень с изоспином 1 в этих реакциях не может быть возбужден:

0 + 0 = 0 + T = 0.

Однако его возбуждение возможно в реакции неупругого рассеяния протона (p,p'), т.е. частицы с изоспином 1/2:

¹⁴N + ¹H → ¹⁴N^* + ¹H;
∑ = 0 + = (¹⁴N^*) + (¹⁴N^*) = 0,.

В реакциях поглощения γ-кванта и в реакции неупругого рассеяния электронов (е,е') также возбуждаются состояния ядер с изоспинами Т = Т₀ и Т = Т₀ + 1. Это означает, что как реальный, так и виртуальный γ-квант в процессе рассеяния или поглощения может передать ядру или частице изоспин, равный 0 либо 1. Изоспин γ-кванта I ≡ T = 0,1.

Задача 8.5. Какие каналы реакций упругого и неупругого рассеяния электронов возможны при рассеянии электронов с Е ~ 1.5 ГэВ на протоне?

Упругое рассеяние:

e + p → e' + p;

Неупругое рассеяние:

e + p → e' + Δ(1232);
e + p → e' + N(1440);

Δ-резонансы представляют собой возбужденные состояния протона с изоспином 3/2, N-резонансы − возбужденные состояния протона с изоспином 1/2.

Задача 8.6. Проанализировать возможности распадов изоспиновых ветвей Т = 2 и Т = 1, возникающих в возбуждении ядра ³⁴S по протонным и нейтронным каналам.

Рис. 8.3. Схема возбуждения и распада Е1 резонанса в ядре ³⁴S

Изображенные на схеме (рис. 8.3) числа, отражающие вероятности переходов, являются результатом вычисления т.н. коэффициентов Клебша-Гордана.

3. Коэффициенты Клебша-Гордана

Коэффициенты Клебша-Гордана (ККГ) представляют собой один из вариантов коэффициентов векторного сложения (см., например, А.С.Давыдов. Квантовая механика). Здесь будет дана очень краткое перечисление свойств ККГ и связанных с ними 3j-символов.
Рассмотрим физическую систему, состоящую из двух «подсистем», каждая из клоторых характеризуется возможными наборами квантовых состояний |j₁m₁>, |j₂m₂>. Состояние полной системы характеризуется квантовыми числами |J(j₁j₂)M>. Полный момент системы есть векторная сумма моментов ее частей:

₁ +

₂; M = m₁ + m₂.

(8.2)

ККГ являются связью двух наборов характеристик квантовых систем:

(8.3)

ККГ <j₁m₁j₂m₂|JM> подчиняются правилу (8.2). Часто в расчетах используют т.н. 3j-символы. Формула (8.4) связывает эти коэффициенты:

(8.4)

Расчеты вероятностей реакций и распадов всегда включают необходимость вычисления ККГ. Ограничения «правила треугольника» (8.2) на ККГ помогают найти правила отбора по моментам количества движения и по моментам в изоспиновом пространстве. Поскольку ККГ являются коэффициентами разложения волновой функции по другой полной системе волновых функций, сумма квадратов ККГ в разложении (8.3) равна 1.
Рассмотрим волновые функции нуклонов в одночастичной модели оболочек (ОМО). В потенциале V(r) = μω²r²/2 собственными функциями гамильтониана являются состояния
ψ() = R_nl(r)Y_lm(θ,φ) = |nl>|lm>. С учетом спина нуклона эти функции являются произведениями радиальной функции (зависящей только от n и l) − сферической функции и спинора:

(8.5)

В потенциале со спин-орбитальным взаимодействием

(8.6)

функция (8.5) не является собственной, так как операторы проекций орбитального момента и спина не коммутируют с этим потенциалом и, соответственно, квантовые числа m_l и m_s уже не являются «хорошими» квантовыми числами. Но оператор проекции полного момента j нуклона коммутирует с гамильтонианом! Поэтому квантовое число m_j= m является «хорошим» квантовым числом в расчетах волновых функций нуклонов в потенциале (8.6). Собственную функцию оператора Гамильтона с потенциалом (8.6) можно представить в виде разложения по полному набору волновых функций (8.5), причем коэффициентами разложения являются ККГ:

= + ; m = m_l + m_s.

Вероятности процессов в квантовом мире определяются как величины, пропорциональные квадратам матричных элементов процесса. Если изменение состояния квантовой системы генерируется оператором (здесь q − тензорная размерность оператора), то новое состояние системы с квантовыми числами J_fM_f возникает в результате действия этого оператора на начальное состояние системы с квантовыми числами J_iM_i. Матричный элемент этого преобразования системы имеет вид

В расчетах вероятностей процессов часто используется теорема Вигнера –Эккарта (ТВЭ):

(8.7)

Величина называется приведенным матричным элементом.
Один из выводов ТВЭ состоит в том, что матричные элементы любого оператора зависят от проекций моментов только через коэффициенты Клебша-Гордана (ККГ). Этот факт помогает найти правила отбора для квантовых процессов

Тема 8. Изоспиновая инвариантность ядерных процессов

1. Изоспин в ядерных реакциях и распадах

2. Изоспиновые мультиплеты и изобар-аналоговые состояния

3. Коэффициенты Клебша-Гордана