Глава 1 Введение

    Кинематические события в физике элементарных частиц и ядер происходят в четырехмерном импульсном пространстве. Оно является достаточно организованным множеством, имеющим вполне определенные геометрические свойства. Положение каждой точки в этом пространстве может быть охарактеризовано четырехмерным радиус-вектором , проведенным в нее из начала системы координат; координаты конца этого вектора и есть координаты точки.
    Каждая точка импульсного пространства соответствует состоянию движения некоторой реальной частицы с определенной массой m. При изменении ее состояния движения частица оказывается в другой точке импульсного пространства, однако при этом никак не изменяется "длина" соответствующего ей 4-вектора. Иными словами, состояния движения реальной частицы с определенной массой m заселяют в четырехмерном импульсном пространстве некоторую гиперповерхность, определяемую условием ² = const = m².
    Координаты конца 4-вектора определяются величиной кинетической энергии частицы (T) и ее привычным трехмерным вектором импульса p. Однако только в начале прошлого века стало понятным, что гораздо более важной характеристикой, чем кинетическая энергия, является сумма
E = T + m, называемая полной энергией частицы, или − кратко − энергией. Именно E и p являются компонентами 4-вектора P, а его "длина" определяется массой частицы:

2 = E2 - p2 = m2

(1.1)

    Для реальных частиц, которые могут быть зарегистрированы детектором, полная энергия всегда положительна, а условие (1.1) всегда выполняется. Таким образом, состояния реальной частицы с массой т в импульсном пространстве заполняют гиперповерхность, выделенную двумя условиями: ² = m² и Е ≥ m.
    Какие бы события взаимодействия частиц ни происходили, они происходят так, что сохраняется не только привычный полный трехмерный импульс, но и полная энергия. Поэтому сохраняется и "длина" вектора полного 4-импульса:

(1.2)

где _i есть 4-импульс i-й частицы начального состояния, п есть число частиц в начальном состоянии, N − число частиц после взаимодействия (оно не обязательно равно n), _j (_i) − 4-импульс отдельной частицы соответствующего состояния.
    Именно анализ следствий этого закона является основной задачей релятивистской кинематики элементарных процессов.

* * *

    Согласно специальной теории относительности, законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. В применении к кинематике это означает, что для описания кинематических событий необходимо, во-первых, знать законы преобразования компонент 4-импульса при переходе от одной системы отсчета к другой, и во-вторых, необходимо стремиться к описанию этих событий в терминах таких переменных, которые не изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой (такие переменные называются лоренц-инвариантными; при обсуждении вопросов кинематики их часто называют просто "инварианты").
    Напомним элементарные свойства 4-векторов, под которыми понимается совокупность четырех величин A⁰, A¹, A², A³, испытывающих при преобразованиях четырехмерных координат изменения согласно преобразованиям Лоренца [9]. Принято записывать такую совокупность как A^µ, µ = 0, 1, 2, 3 или = (A⁰, A¹, A², A³) или = (A⁰, A). Квадрат величины (аналог квадрата модуля привычного трехмерного вектора) определяется как

= (A⁰)² − (A¹)² − (A²)² − (A³)².

    В зависимости от знака величины ² множество 4-векторов расщепляется на 3 класса: при ² > 0 они принадлежат классу времени-подобных 4-векторов, класс 4-векторов с ² < 0 называется пространственно-подобным, а 4-векторы, для которых ² = 0, составляют класс изотропных 4-векторов. Эта классификация релятивистски инвариантна. Свободно движущиеся частицы с ненулевой массой имеют времени-подобный вектор 4-импульса, а частицы с нулевой массой - изотропный. Обсуждая кинематику физических процессов, экспериментатор имеет дело, как правило, с реальными частицами, поэтому соответствующие 4-импульсы физических реальных частиц времени-подобны или изотропны (если масса частицы нулевая, как у фотона). Для виртуальных частиц их 4-импульс может принадлежать любому из классов.
    В дальнейшем обсуждении вопросов кинематики элементарных процессов подразумевается, что речь идет о массивных частицах (например, при обсуждении 4-скорости); специальные случаи кинематики с участием фотонов оговариваются отдельно.
    Запись вида A^µ соответствует т. н. контравариантному 4-вектору . Если определить новый 4-вектор с компонентами

и записать их как A_µ, то величину ² можно переписать в форме

² = A^µA_µ = A⁰A₀ + A¹A₁ + A²A₂ + A³A₃,

что принято записывать просто как A^µA_µ, опуская знак суммирования, но подразумевая, что по совпадающим индексам, встречающимся и вверху, и внизу, производится суммирование.
    Можно убедиться, что закон преобразования ковариантного вектора A_µ почти такой же, как в формулах (1.8, 1.11), отличаясь только знаком Γ в них, противоположным по отношению к знаку Γ в формулах преобразования для контравариантного вектора A^µ.

Скалярное произведение двух 4-векторов и определяется как

· ≡ = AµBµ = AµBµ = A0B0 + A1B1 + A2B2 + A3B3 = A0B0 − АВ.

(1.4)

Можно легко убедиться непосредственным вычислением, что величина (·) действительно инвариантна относительно преобразований Лоренца, т. е. является скаляром в пространстве определенных здесь 4-векторов.
    Важную роль в исчислении четырех-векторов играет метрический тензор g^µν = g_µν, до сих пор не встречавшийся здесь, но с которым при чтении рекомендованной литературы читатель непременно встретится. Подозревая, что читатель с ним уже знаком и помня, что "лучше поздно, чем никогда", напомним и о нем.
    Метрический тензор g^µν представляется в виде матрицы

g = (gµν) = (gµν) = = g-1.

(1.5)

    С его помощью можно, например, переводить контравариантные 4-векторы в ковариантные и наоборот:

(Здесь использовано данное выше соглашение о суммировании повторяющихся индексов.) Скалярное произведение двух 4-векторов с помощью этого тензора записывается очень просто:

() = AµgµνBν

(1.7)

    Почему тензор g^µν называется "метрическим", любопытствующий читатель может узнать из литературы, например, из книги [5].
    Более подробное рассмотрение свойств 4-векторов можно найти, в частности, в книгах [5, 9] и многих других.

* * *

Рис. 1.1. Штрихованная система движется относительно нештрихованной со скоростью β. Соответственно, система S относительно системы S' движется со скоростью -β.

    Итак, компоненты 4-вектора = (E, p) при переходе от одной системы отсчета к другой испытывают преобразования Лоренца. Настала пора их напомнить.
    Пусть в какой-то системе отсчета S частица имеет импульс p и энергию E. Пусть другая система отсчета S' движется относительно S со скоростью β так, как показано на рисунке 1.1.
    Тогда импульс p' и энергия E' этой же частицы в системе отсчета S' будут связаны с p и E системе S соотношениями

E' = γE − Γ,   = γ − ΓE, = , p' = (,0,),

(1.8)

где и − компоненты соответствующих импульсов, параллельные вектору скорости (3 (вдоль которой направлены, например, оси Z и Z' систем координат обеих систем отсчета), и − компоненты этих импульсов, перпендикулярные вектору скорости β (вдоль этого перпендикуляра направлены, например, оси X и X' принятых нами систем координат), а величины γ и Γ есть

    Здесь для произведения γβ использовано удачное обозначение Γ из книги Г.И.Копылова [2], благодаря которому преобразование Лоренца (1.8) записывается в легко запоминающейся форме.

    Если частица в системе отсчета S имеет импульс p и энергию E, то ее система покоя движется относительно S-системы с той же скоростью, что и эта частица, а именно:

    Преобразование (1.8) можно записать для любого 4-вектора
= (A⁰,A) ≡ (A⁰,A¹,A²,A³) = (A⁰,A_x,A_y,A_z). To есть, при переходе из нештрихованной системы S
(рис. 1.1) в штрихованную его компоненты преобразуются согласно

        В матричной записи это преобразование выглядит следующим образом:

(1.12)

    Примечательно, что если ввести 4-вектор = (γ,Г)*, имеющий свойство ² = γ² − Г² = 1, то формулы (1.11) можно переписать в  виде

A'0 = ·, A'1 = A1 , A'2 = A2, A'3 = (A3 − Γ·))/γ = (A3 - Γ A'0)/γ.

(1.13)

* * *

    В современной физике частиц характеристики их взаимодействий описываются, как правило, в терминах лоренц-инвариантных кинематических переменных. О них речь пойдет позже. Широко употребляются также безразмерные переменные, одной из которых является быстрота (или относительная быстрота; ранее для нее использовался термин гиперскорость [2]). Напомним ее определение.
    Как известно, если сделать два последовательных преобразования вида (1.11) с параметрами β₁ и β₂ при условии, что направления движения систем отсчета S₁ и S₂ параллельны (обозначения здесь очевидны), то полученный результат будет эквивалентен одному преобразованию с параметром β₃ вдоль того же направления:

γ3 = γ1 − γ2·(1 + β1·β2) = γ1 ·γ2 + Γ1·Γ2,

(1.14)

что можно переписать в симметричном виде как

    Определим быстроту ξ (или гиперскорость) согласно

после этого нетрудно убедиться, что соотношения (1.15) в терминах быстрот означают, что

    Иными словами, при параллельных друг другу преобразованиях Лоренца быстроты складываются.
    Более подробное обсуждение этой переменной будет проведено позже; можно также обратиться за деталями к рекомендованным книгам по кинематике**. Здесь важно подчеркнуть именно это свойство аддитивности быстрот при параллельных преобразованиях Лоренца.
    Матричная запись преобразования (1.12) при использовании быстроты η выглядит следующим образом:

(1.18)

    Наконец, из соотношений (1.16), (1.18) становится почти очевидным, что рассмотренные здесь преобразования Лоренца фактически есть не что иное, как преобразования вращения в 4-мерном пространстве. Появление гиперболических функций вызвано тем, что это пространство не является евклидовым. Однако более подробное обсуждение этих вопросов выходит за рамки данного курса.

* Фактически, 4-вектор = (γ,Г) есть не что иное, как 4-скорость. Это понятие будет рассмотрено позже.
** Об определении быстроты для фотонов − см. [2].