Электромагнитные взаимодействия заряженных частиц

Теория злектромагнитных взаимодействий (электродинамика − ЭД, квантовая электродинамика − КЭД) разработана уже довольно давно и настолько хорошо, что она может быть применена к большинству проблем, возникающих при электромагнитном взаимодействии излучения с веществом. При любой экспериментальной проверке предсказания этой теории подтверждались в пределах экспериментальных ошибок и математических приближений.
Электромагнитные взаимодействия существуют между всеми частицами, имеющими электрический заряд, и фотонами. Их можно рассматривать как результат обмена в момент взаимодействия фотонами или как результат поглощения и испускания фотонов. В качестве константы взаимодействия, определяющей интенсивность процесса, в случае электромагнитных взаимодействий выступает квадрат заряда e² или безразмерная величина, пропорциональная e²:

α = e²/ħс = 1/137.

    Если в процессе взаимодействия участвует один фотон, то вероятность такого процесса пропорциональна α, если два фотона, то пропорциональна α² и т.д.
    Остановимся на основных процессах, которые происходят с наибольшей вероятностью и при которых осуществляется наибольшая передача анергии. Эти элементарные электромагнитные процессы можно классифицировать с точки зрения классической физики на основе представления о параметре удара (прицельном параметре соударений) b, т.е. расстоянии наибольшего сближения частиц.
    При взаимодействии частиц с атомами среды, через которую они летят, естественно сопоставлять величину параметра удара b с размерами атомов a. В зависимости от того, как соотносятся между собой величины b и a происходит тот или иной процесс взаимодействия:

b >> α При взаимодействии частиц с атомами среды, через которую они летят, естественно сопоставлять величину параметра удара b с размерами атомов a . В зависимости от того, как соотносятся между собой величины b и a происходит тот или иной процесс взаимодействия.
b ~ α Если параметр удара сравним с размерами атома, то будет происходить взаимодействие частицы с отдельными электронами атома. В этом случае заряженная частица может передать электрону значительную энергию, электрон вырывается из атома и сам может производить ионизацию других атомов. Такой электрон называется δ-электроном. Если энергия, получаемая δ-электроном, велика по сравнению с энергией связи в атоме, то зто явление может рассматриваться как взаимодействие пролетающей частицы и свободного электрона. При столкновении фотона с таким "свободным" электроном фотон рассеивается (комптоновокое рассеяние, комптон-эффект).
b << α При еще меньших значениях параметра удара происходит взаимодействие частицы с кулоновским полем ядра. Траектория частицы при этом заметно искривляетоя, и происходит ускорение (или замедление) частицы. Согласно классической электродинамике в этом случае должно возникнуть тормозное излучение.

Рис.3. Прямое рождение e⁻e⁺-пары электроном. Виртуальный фотон на опыте не наблюдается.

При взаимодействии фотонов высокой энергии с ядрами атомов могут возникать электрон-позитронные пары. При этом фотон поглощается, и вся его энергия переходит в энергию пары. Этот эффект пороговый, так как он может происходить, если энергия фотона больше суммарной энергии покоя электрона и позитрона, hν > 2m_ec². Ядро принимает на себя избыток импульса. Заряженные частицы тоже могут образовывать электрон-позитронные пары e⁻ e⁺, так как электромагнитное поле быстро движущейся частицы может быть представлено как поток фотонов со спектром, зависящим от энергии частицы. Эти виртуальные фотоны могут создавать e⁻e⁺-пары так же, как и реальные фотоны. Схематически прямое рождение e⁻e⁺-пары электроном изображено рис.3.
Особый класс взаимодействий составляют процессы излучения электромагнитных волн при равномерном движении частиц в среде с показателем преломления n > 1. К ним относится излучание Вавилова-Черенкова, на основе которого созданы разнообразные черенковские детекторы. Кроме того, есть переходное излучение, возникающее при переходе частицы через границу раздела двух сред с различными диэлектрическими постоянными.

Размер атома

Рис.4. Стационарная круговая орбита электрона в атоме

    Некоторые полезные оценки и соотношения можно получить из простейшей концепции Нильса Бора. Пусть имеем ядро с зарядом Ze. Рассмотрим электрон в стационарном состоянии, т.е. допустим, что электрон вращается вокруг ядра по стационарной круговой орбите радиуса a с орбитальной скоростью v_орб (рис.4).
    Атом - система квантовая, поэтому момент количества движения
m_e·v_орб·a квантуется, т.е. может принимать лишь дискретные значения
m_e·v_орб·a = nħ, где n = 1,2,3,….
    Поскольку рассматриваемая система стационарна, то центробежная сила равна кулоновской силе притяжения электрона к ядру, т.е.

nћ·v_орб = Ze²

Отсюда получаем важные для нас соотношения:

т.е. скорость вращения электронов в атоме убывает с увеличением главного квантового числ n, а радиус орбиты вращения электронов в атоме пропорционален n². Энергия связи электрона с ядром (E_св), т.е. его потенциальная энергия на орбите, получается равной:

Отсюда видно, что скорость вращения больше у внутренних электронов атома, для которых больше E_св.
Например, для К-электронов n = 1, следовательно v_орб = Ze²/ћ
Для атома водорода Z = 1, поэтому v_орб = e²/ћ = 2.3·10⁸ см/с и a = ћ²/m_ee² = 0.5·10^-8 см.
В общем случае для электронных орбит в атомах имеем:

v_орб = Z/n · 2.3·10⁸ см/с и a = n²/Z · 5·10^-7 см.

Чтобы произошла ионизация, т.е. электрон мог покинуть атом, надо, чтобы при взаимодействии с пролетающей мимо заряженной частицей этот электрон получил кинетическую энергию E_e большую, чем энергия связи его с атомом E_св, т.е. E_e> E_св.
Определим минимальную кинетическую энергию и скорость v пролетающей частицы, необходимую для ионизации ею атома среды. Пусть пролетающая частица имеет массу M >> m_e и кинетическую энергию E = Mv²/2.

Так как максимальная энергия, которая может быть передана при упругом столкновении

то при M >> m_eнаибольшая энергия, получаемая электроном, будет равна

Чтобы электрон смог покинуть этот атом, необходимо, чтобы E_e> E_св, т.е. m_e/M · E > E_св. Отсюда получаем соотношения

E/M = E_св/m_eи v > 2v_орб.

Если энергия, передаваемая электрону E_e>>E_св, т.е. энергия пролетающей частицы

то все электроны атома могут рассматриваться свободными и покоящимися по сравнению с быстро летящей частицей. Какова же должна быть энергия частицы, чтобы выполнялось это условие?
Найдем, например, энергию протона, который имеет скорость v = 4.6·10⁸см/с (т.е. равную 2v_орб для атома водорода):

Протон с E_p > 100 кэВ может ионизовать атом водорода, но лишь при энергии протона E_p >> 100кэВ можно пренебречь связью электронов с ядрами атомов водорода и считать их свободными.

Ионизационные потери тяжелых заряженных частиц

    Ионизация вещества − явление исключительное по своему значению для экспериментальной ядерной физики и физики высоких энергий, поскольку оно лежит в основе действия большинства детекторов элементарных частиц. Путем регистрации ионизации были открыты естественная радиоактивнооть и космические лучи, впервые наблюдались реакции расщепления атомных ядер.
    В результате возбуждения и ионизации быстрыми заряженными частицами атомов вещества детектора и последующего усиления слабого первоначального ионизационного сигнала возникает наблюдаемый макроскопический ионизационный эффект. Измерения этого ионизационного эффекта как и времени пролета, а также черенковского излучения широко используются для идентификации заряженных частиц и интерпретации экспериментов.
    Основные закономерности, описывающие ионизационные потери тяжелых заряженных частиц, можно получить из сравнительно простых качественных соображений, основанных на классических представлениях. Впервые эти закономерности были получены в 1915 г. Нильсом Бором.
    Итак, рассмотрим прохождение через вещество тяжелой (M >> m_e) нерелятивистской (V << c) заряженной (ze) частицы. Предположим, что частица эта настолько быстра (V >> v_орб), что можно считать все атомные электроны свободными.

Рис.5. Взаимодействие заряженной частицы с электроном атома

Сначала разберем взаимодействие этой частицы с одним электроном среды, расположенным на расстоянии b от ее траектории (b − прицельный параметр) (рис.5). В результате электростатического взаимодействия электрон получает импульс в направлении, перпендикулярном к направлению движения частицы. Продольная же составляющая импульса электрона близка к нулю, так как две ее компоненты, соответствующие приближению частицы к электрону и удалению от него, почти равны по величине (если потери энергии частицей малы) и противоположны по направлению. Так как M >> m_e, то можно не учитывать изменения направления движения частицы после такого единичного взаимодействия.

E/M > E_св/m_eи v > 2v_орб.

Итак, в результате действия кулоновских сил между частицей и электроном среды этот электрон получает импульс p_e = F · t, где

- время взаимодействия, т.е.

Если электрон в результате взаимодействия приобрел импульс то, следовательно, он приобрел и кинетическую энергию:

Здесь уместно вспомнить о законе сохранения энергии для данного частного случая: сколько энергии приобрел электрон (T_e), столько же энергии (∆E) потеряла частица при взаимодействии с этим электроном:

Теперь вспомним, что среда наполнена атомами (A ,Z) и, следовательно, в ней много электронов. Если плотность среды ρ г/см³, то плотность атомов в ней будет:

где N_A− числе Авогадро. Плотность электронов будет в Z раз больше

Рис.6. К расчету ионизационных потерь.

Если частица проходит в среде путь dx, то она взаимодействует почти одинаково со всеми электронами, которые располагаются на одном и том же расстоянии b от ее траектории и каждому из них передает анергию T_e. Количество таких электронов на пути dx будет определяться плотностью электронов и объемом кольцевого цилиндра длиной dx с внутренним радиусом b и внешним радиусом b + db (рис.6). Объем этого цилиндра − 2πbdbdx (см³). Электронов в нем будет: n_e(эл/см³) · 2πbdbdx (см³) = 2πbdbdx Zn_ат.
Каждому из этих электронов пролетающая частица передает энергию ∆E, а всем электронам, находящимся на расстоянии b от нее на пути dx, частица передает энергию

т.е.

He следует забывать, что энергия частицы при этом взаимодействии уменьшается, и поэтому производная dE(b)/dx отрицательна.

Чтобы найти ионизационные потери частицы на пути dx со всеми электронами среды, с которыми она взаимодействует с разными параметрами удара, надо проинтегрировать по всем возможным параметрам удара от b_min до b_max:

Пределы интегрирования должны быть конечны, так как из самых общих физических соображений удельные потери энергии dE(b)/dx должны иметь конечную величину − частица с конечной энергией не может потерять бесконечную энергию. Отсюда следует, что b_max≠ ∞ и b_min ≠ 0.

Рассмотрим, какими факторами определяются величины предельных прицельных параметров.

(b_min) Минимальному значению параметра удара b_min соответствует максимальная передеваемая энергия. Ранее было получено соотношение, связывающее передаваемую электрону энергию ∆E с параметром удара

Откуда имеем:

и, следовательно

Если сталкиваютcя две частицы с массами M и m_e и M >> m_e, то максимальная передаваемая энергия будет:

Следовательно

В релятивистском случае в выражении для b_min появляется коэффициент (1 − β²)^1/2, так как максимальная передаваемая энергия будет:

Итак, мы получили выражение для b_min с точки зрения классического подхода.

p_{e max} · b'_min ~ ћ.

Так как

в нерелятивистском случае
в релятивистском случае

(b_max) Чем больше параметр удара, тем меньше передаваемая электрону энергия. Максимальное значение (b_max) соответствует случаю, когда передаваемая энергия близка к энергии связи этого электрона с ядром. Поскольку энергия связи разных электронов атома различна, то вводится обычно некоторая усредненная характеристика энергии связи злектронов в атомах данного элемента (A,Z), называемая средним потенциалом ионизации I .
Для разных элементов I = I₀ · Z, где I₀ слабо зависит от Z вещества. В табл.2 приведены значения I₀ для некоторых элементов.

Таблица 2: Величины I₀ для разных элементов

Вещество	Be	C	Воздух	Al	Cu	Pb
I₀, эВ	16.0	13.0	12.8	12.8	11.1	10.0

Итак, выбираем в качестве максимального прицельного параметра такой, при котором электрону передается энергия, равная среднему потенциалу ионизации. Так как

то

Теперь можно вычислить . Подставляя найденные нами значения b_max и b_min, получаем:

Выражение для удельных ионизационных потерь энергии приобретает вид:

Вывод этой формулы на основе классических представлении первоначально был предложен Н.Бором в 1915 г., поэтому она и называется формулой Бора в этом виде или в более уточненном варианте:

Формула для ионизационных потерь энергии, выведенная Бете и Блохом с учетом квантовых и релятивистских эффектов, называется их именем (формулой Бете-Блоха) и имеет вид

Зависимость ионизационных потерь от параметров частицы

Удельные ионизационные потери пропорциональны квадрату заряда частицы:
|dE/dx| ~ z².

это означает, что удельные ионизационные потери ядра железа (z = 26) в 676 раз больше, чем для протона той же скорости.
Удельные потери не зависят от массы частицы М. Это получается из-за того, что происходит взаимодействие электрических зарядов частиц, а не их масс. Однако, если интересоваться сопоставлением потерь на ионизацию различных частиц с одинаковой кинетической энергией, тогда в коэффициент перед логарифмическим членом неизбежно войдет масса частицы, так как v² ~ E/M.
Поскольку в нерелятивистском случае ионизационные потери обратно пропорциональны квадрату скорости частицы:

|dE/dx| ~ 1/v², dE/dx| ~ M/E.

Следовательно, частицы с одинаковой кинетической энергией теряют ее на ионизацию тем больше, чем больше их масса. Например, дейтрон теряет на единице своего пути на ионизацию энергию в 2 раза большую, чем протон с такой же кинетической энергией, а мюон в ~9 раз меньше.

Удельные потери энергии на единице пути |dE/dx| являются довольно сложной функцией скорости (и, следовательно, кинетической энергии) частицы. Эта зависимость схематически изображена на рис.7, где по оси абсцисс отложена кинетическая энергия в единицах своей собственной энергии Mc², а по оси ординат − удельные потери энергии этой частицей на ионизацию среды.

Рис.7. Зависимость ионизационных потерь энергии от энергии тяжелых частиц.

Вся сложная кривая рисунка разделена буквами А, В, С, D, E, F на отдельные участки с характерным для них поведением этой зависимости.

    ВС Участок (ВС) соответствует случаю, когда, с одной стороны, частица нерелятивиотская, таким образом E_кин < Mc² и β < 1, с другой стороны, она настолько быстрая, что все электроны атомов могут считаться свободными. Поведение кривой в этой области (ВС) определяется коэффициентом перед квадратными скобками в формуле Бете-Блоха:

    Эта зависимость в нерелятивистской области получилась из-за того, что переданный электрону импульс p_e = F · t зависит от времени взаимодействия t, которое, в свою очередь, обратно пропорционально скорости частицы t ~ 1/V. Переданная же электрону энергия ~ P_e² т.е. энергия, потерянная частицей ~ 1/v², следовательно ~ 1/E.
    Зависимость |dE/dx| ~ 1/v² имеет место вплоть до релятивистских скоростей V ≈ c. При V ≈ c коэффициент перед скобкой принимает минимальное значение.

    СD На участке (СD) кривой на рис.7 удельные ионизационные потери снова начинают увеличиваться. Этот рост потерь обусловлен ростом величины логарифмического члена, так как при β → 1 1/(1 − β²) → ∞. Поскольку этот множитель стоит под знаком логарифма, то и рост потерь наблюдается медленный - "логарифмический".
Логарифмическое возрастание dE/dx с увеличением энергии обычно называют релятивистским подъемом ионизации. Он начинается после того, как dE/dx достигнет минимальной величины при V ≈ 0.96c.
    Частично этот подъем происходит за счет близких столкновений, так как увеличивается максимальная передаваемая энергия ∆E_max, а частично за счет далеких столкновений из-за релятивистского увеличения b_max

Рис.8. Форма эквипотенциальной поверхности кулоновского поля: для нерелятивистской (а) и релятивистокой (б) скорости частицы

    Рост потерь, обусловленный вторым фактором, происходит из-за релятивистского сжатия кулоновского поля частицы в продольном направлении (вдоль траектории частицы) и возрастания поля в поперечном направлении. Рис.8 иллюстрирует сказанное: для нерелятивистских честиц эквипотенциальная поверхность имеет сферически симметричную форму (а), а форма эквипотенциальной поверхности поля релятивистских частиц другая (б): расстояние в продольном направлении уменьшается в (1 − β²)^1/2 раз, а в поперечном − увеличивается в (1 − β²)^-1/2 раз, получается эллипсоид, "блин", который с увеличением скорости частицы все более сплющивается в продольном направлении и увеличивается в поперечном.
    Это означает, что все большее число электронов среды попадает в поле воздействия летящей частицы. Растет b_max и все большему числу электронов частица передает свою энергию. Следовательно, и потери энергии частицей на единице ее пути растут.
    Казалось бы, эффект релятивистского сжатия поля должен был бы приводить к неограниченною увеличению потерь. Однако это не так. При дальнейшем увеличении энергии поле частицы может стать больше расстояния между атомами среды. В этом случае возникает так называемый эффект плотности, который особенно существенен для плотных газов, жидкостей и, тем более, для твердых веществ.
    Эффект плотности связан с тем, что поле летящей частицы поляризует атомы среды. В результате поляризации многих атомов возникает поле диполей, направленное в сторону, противоположную полю летящей частицы. Оно ослабляет поле частицы и как бы экранирует от него далеко расположенные электроны. На некотором расстоянии от траектории частицы поле ее компенсируется полностью противоположным полем диполей.

    EF Область кривой (EF) и соответствует этому случаю: рост потерь энергии существенно замедляется из-за эффекта плотности.
    В формуле Бете-Блоха эффект плотности учитывается членом "б". Поскольку поляризация прямо пропорциональна плотности электронов в среде (n_e), то этот эффект в сильной степени зависит от плотности вещества, за что и получил свое название.
    Поправка на эффект плотности в несколько упрощенном виде впервые была рассчитана Э.Ферми в 1939 г. и поэтому область (EF) часто называют "плато Ферми". В крайнем релятивистском случае поправка на эффект плотности дается выражением:

δ = -ln(1 − β²) − φ,

где а − плазменная частота электронов.
    В предельном случае очень больших энергий часть релятивистского возрастания потерь полностью компенсируется эффектом плотнооти.
    Оставшаяся часть связана с передачей энергии при близких столкновениях. В случае не очень больших энергий максимальная передаваемая энергия ∆E_max растет как (1 - β²)^-1. При очень высоких энергиях ∆E_max возрастает приблизительно как (1 - β²)^-1/2, т.е. релятивистский подъем сказывается в три раза меньше того, что можно было ожидать без учета эффекта плотности.

    AB Формула для ионизационных потерь была выведена в предположении, что все электроны атомов среды при взаимодействии с частицей могут считаться свободными, т.е. выполняется условие:

ΔE_max >> E_св, и E >> ME_св/m

По мере уменьшения энергии частицы это соотношение может оказаться нарушенным. В первую очередь, это нарушение будет относиться к наиболее сильно связанным электронам в атомах: K- и L-электронам. Когда скорость частицы станет меньше скорости орбитального движения K-электронов, передача энергии им станет невозможной, и, следовательно, K-электроны должны быть выключены при вычислении плотности электронов в среде, т.е. число их как бы уменьшится, и, соответственно, потери энергии также уменьшатся.
При дальнейшей уменьшении скорости частицы то же самое следует отнести и к L-электроном, затем к М-электронам и т.д. Чем больше Z среды, тем больше E_св и тем выше граничная энергия частицы, при которой следует учитывать этот эффект:

v^гр ~ = Ze²/ћ.

Пример. Для K-электронов скорость орбитального движения = 2.3·10⁸Z см/с. Граничная энергия для протонов и α-частиц получаетcя равной:

Чем больше масса частицы, тем выше граничная энергия. Для частицы массы М граничная энергия получается равной:

E^гр ~ 2.9·10^-5·Mc²·Z².

В табл.3 приведена граничная энергия для протонов и α-частиц в нескольких средах.

Уменьшение потерь энергии частицей при малых энергиях соответствует левому "завалу" кривой ионизационных потерь (АВ), и в формуле Бете-Блоха учитывается последним членом u в квадратных скобках.
При рассмотрении ионизационного торможения тяжелых заряженных частиц (ионов атомов) нужно учитывать явление перезарядки, связанное с захватом частицей электронов среды и их потерей.

Таблица 3: Граничная энергия для протонов и α-частиц

Вещество	Z	, см/с	, МэВ	, МэВ
C	6	1.3·10⁹	0.9	3.6
Al	13	2.9·10⁹	4.2	16.9
Cu	29	6.4·10⁹	21.0	84.0

Этот эффект становится существенным при скоростях частицы, сравнимых с v_орб (участок АВ).

Положение максимума кривой (В) определяется E^грдля этой среды. Как было найдено,
E^гр ~ Z² среды.
Удельные ионизационные потери энергии пропорциональны плотности электронов в среде:
|dE/dx| ~ Zn_ат = n_e.

Но

n_eэл/см³ = Zn_ат = (N_A/A)·ρ·Z = N_A·(Z/A)·ρ,

где N_A − число Авогадро, Z, А − заряд и атомный вес среды, ρ г/см³ − плотность среды.

Для легких веществ Z/A ~ 0.5. Следовательно, для этих сред получаетоя простая зависимость |dE/dx| ~ ρ г/см³. Это обстоятельство побудило ввести в обиход массовую единицу длины xρ, размерность которой [xρ] − г/см². Смысл массовой единицы длины очевиден: это такая высота столбика вещества с сечением 1 см², который весит xρ г, иначе говоря, это давление, которое оказывает на площадь в 1см столбик вещества высотою xρ.
В массовых единицах формула Бете-Блоха принимает вид: