применимо для описания частиц, скорость которых меньше скорости света c. Оно не удовлетворяет принципам специальной теории относительности, т.к. не инвариантно относительно преобразований Лоренца. В уравнение Шредингера координаты и время входят неравноправно – оно содержит первую производную по времени и вторые производные по координатам.
    Релятивистская механика основана на соотношении

связывающем энергию и импульс частицы. Для получения релятивистского уравнения можно поступить так же, как в нерелятивистском случае уравнения Шредингера. Для получения волнового уравнения в соотношении (2.1) от классических величин энергии E и импульса p нужно перейти, так же как в уравнении Шредингера, к операторам

и подействовать на волновую функцию ψ.
    Релятивистское волновое уравнение было получено независимо Клейном, Гордоном и Фоком и носит их имя

Состояние частицы зависит от трёх координат и времени ψ(x,y,z,t). Уравнение Клейна–Гордона–Фока представляет собой волновое уравнение второго порядка. Оно описывает динамику релятивистской квантовой системы. Так как уравнение Клейна–Гордона–Фока является уравнением второго порядка, для его решения в начальный момент времени необходимо задать значение не только волновой функции ψ, но и её первой производной. Оказалось, что для уравнения Клейна–Гордона–Фока нельзя ввести положительно определённую плотность вероятности ψ*ψ. Уравнение Клейна–Гордона–Фока описывает состояние частиц с нулевым значением спина. Однако уже к тому времени, когда П. Дирак работал над релятивистской теорией электрона (1925 г.), было известно, что электрон имеет спин s = 1/2. Спин электрона был введён в 1925 г. Дж. Уленбеком и С. Гоудсмитом для объяснения дублетной структуры одноэлектронных уровней.
    Принцип суперпозиции требует, чтобы релятивистское волновое уравнение было линейным. На основании этих принципов П. Дирак сформулировал релятивистски-инвариантное уравнение, записав его в виде

(2.2)

    Соотношение представляет собой наиболее общую линейную форму, содержащую первые производные от волновой функции ψ. В уравнение (2.2) координаты и время входят равноправно и не содержат вторых производных. Для нахождения величин α_x, α_y, α_z, β уравнение (2.2) можно записать в виде

(2.3)

где

имеющем формальное сходство с уравнением Шредингера. Если оператор  представляет собой оператор Гамильтона, то между оператором  и операторами импульса должна быть такая же связь как между энергией и импульсом в специальной теории относительности

(2.4)

Используя соотношение (2.4), можно определить неизвестные коэффициенты α_x, α_y, α_z, β. Возведя оператор  в квадрат, получим

Оператор ² будет иметь вид (2.4), если величины α_x, α_y, α_z, β будут удовлетворять следующим условиям.

αiαk + αkαi = 0,    α ≠ k, αiβ = βαi = 0, i = x,y,z.

(2.5)

Очевидно, что обычные числа не могут удовлетворять условиям (2.5), т.к. для них не выполняются условия антикоммутации. Для обычных чисел выполняются условия коммутации α_iα_k + α_kα_i = 0. Дирак предположил, что условиям коммутации (2.5) удовлетворяют матрицы 4 порядка, составленные из матриц Паули.

(2.6)

Умножая матрицы (2.6) друг на друга можно убедиться, что они удовлетворяют условиям (2.5).
    Используя матрицы Паули σ_x, σ_y, σ_z, матрицы α_x, α_y, α_z, β можно записать в виде

    С помощью операторов _x, _y, _z,  уравнение (2.2) приводится к виду

    Это уравнение называется уравнение Дирака для свободной частицы. Если ввести векторный оператор , то уравнение Дирака можно записать в более компактном виде

    Так как на волновую функцию ψ(x,y,z,t) действуют матрицы 4×4, волновая функция ψ(x,y,z,t) также должна быть четырехкомпонентной.

    Матричное волновое уравнение Дирака эквивалентно системе четырех связанных между собой уравнений

    Четырехкомпонентную волновую функцию электрона можно представить как 4 различных комбинации положительной и отрицательной энергий электрона и двух значений проекции спина электрона σ_z = 1/2 и σ_z = -1/2.

П. Дирак: «Коль скоро я взялся оценивать других физиков, нельзя не сказать о Шрёдингере. Мне кажется, что я никогда не видел его в Копенгагене, во всяком случае, я этого не припомню. Но мы немало встречались потом, и из всех знакомых физиков Шрёдингер был, наверное, больше других похож на меня. Я обнаружил, что с Шрёдингером я соглашался гораздо легче, чем с кем-нибудь другим. Дело, наверное, было в том, что мы оба очень ценили математическую красоту и воплощение этой красоты в нашей работе. Для нас было символом веры то, что все уравнения, описывающие фундаментальные законы Природы, должны отличаться математической красотой. Это было для нас почти религией, причем очень полезной, ибо ее можно считать основой многих наших успехов.
    Когда вы читаете о работах Шрёдингера. вас может удивить одно обстоятельство. Шрёдингер пришел к квантовой механике через волновое уравнение де Бройля, которое было релятивистским. Шрёдингер находился под большим впечатлением красоты релятивистской теории относительности, и возникает вопрос, почему так случилось, что работа Шрёдингера, где он вводит волновое уравнение, написана в нерелятивистском духе. Здесь кроется какое-то противоречие.
    Много лет спустя, не помню точно, но примерно году в 1940‑м, близко познакомившись с Шрёдингером, я узнал от него, в чем было дело. Он рассказал, что работал тогда в релятивистском подходе, навеянном работами де Бройля, и, вводя электромагнитные потенциалы, пришел к релятивистскому волновому уравнению, которое оказалось обобщением уравнения де Бройля. Первый его порыв быт посмотреть, что получится, если с помощью этого уравнения рассчитать атом водорода. Произведя расчеты, Шрёдингер обнаружил, что результаты не согласуются с опытом.
    Он был сильно разочарован и, решив, что его волновое уравнение никуда не годится, отказался от него. Взглянув на это уравнение по-новому через несколько месяцев, Шрёдингер заметил, что если понизить точность и перейти к нерелятивистскому приближению, то результаты согласуются с экспериментальными данными, конечно, в пренебрежении релятивистскими эффектами. Таким образом, волновое уравнение Шрёдингера в нерелятивистском виде согласовывалось с экспериментом, и его можно было публиковать.
    Причиной того, что первоначальное, релятивистское уравнение Шрёдингера не согласовывалось с экспериментом, был, конечно, неучтенный спин электрона. Мысль о том, что у электрона есть спин, была тогда совершенно новой, и Шрёдингер мог о ней даже не слышать, а в то время у него не хватало смелости публиковать уравнение, которое давало результат, наверняка противоречащий эксперименту[*]».

    Решение уравнения Дирака для свободной частицы показывает, что каждому значению импульса p соответствуют два значение энергии E

E = ±(m²c⁴ + c²p²)^1/2,

т.е. энергия частицы может принимать два значения, как положительное, так и отрицательное. В классической физике все величины изменяются непрерывно, поэтому без потери общности отрицательные значения энергии можно было отбросить, т.к. положительные и отрицательные области энергии разделены энергетическим интервалом 2mc² и непрерывный переход частицы из одной области в другую невозможен. Однако в релятивистской квантовой теории возможны квантовые переходы из состояний с отрицательной энергией в состояния с положительной энергией и обратно. Поэтому отрицательные значения энергии отбросить нельзя. Возникла проблема − как интерпретировать состояния электрона с отрицательной энергией? Какой физический смысл имеют состояния с отрицательной энергией? Рассмотрим ситуацию, когда частица с положительной энергией E₀ > 0 переходит из точки А в точку В.

Тогда в точке А величина энергии E уменьшается на величину E₀, а в точке В увеличивается на величину E₀. Для частицы с отрицательной энергией E₀ < 0 переход их точки А в точку В приводит к увеличению энергии на величину E₀ в точке А и уменьшению энергии на величину E₀ в точке В. Таким образом, переход частицы с отрицательной энергией из точки А в точку В равнозначен переходу частицы с положительной энергией их точки В в точку А. То есть процессы с отрицательной энергией можно представить как процессы с положительной энергией, но обращенные во времени. Частица с отрицательной энергией ведет себя, как частица с положительной энергией, но движущаяся по времени в обратном направлении по сравнению с частицей с положительной энергией.
    Рассмотренный пример относился к нейтральным частицам, не имеющим электрического заряда. Рассмотрим теперь ситуацию с заряженной частицей, совершающей переход из точки А в точку В.

В случае положительного заряда частицы q, заряд в точке А уменьшается на величину -q, а в точке В увеличивается на величину +q. Поэтому для сохранения симметрии мы должны при переходе частицы с отрицательной энергией одновременно изменить знак электрического заряда на противоположный.
    Переход частицы с положительной энергией E и зарядом +q из состояния А в В равнозначен переходу частицы с отрицательной энергией -E и зарядом -q из состояния В в состояние А. Состояния с отрицательной энергией приводят к появлению у каждой частицы двойника, который имеет положительную энергию и противоположный электрический заряд.
    Таким образом, согласно теории Дирака, заряженная частицы должна иметь двойника с противоположным зарядом и такой же массой. Например, у электрона должен быть двойник, имеющий такую же массу, как электрон, но положительный электрический заряд.

    На «языке» квантовой физики волновую функцию частицы с положительной энергией E⁺ = E > 0, движущейся в положительном направлении вдоль оси х, записывают в виде

    В случае постоянной фазы волны

т.е. частица с положительной энергией движется вправо вдоль оси x. Для состояния с отрицательной энергией E^- (E < 0) волновая функция имеет вид

В этом случае условие постоянной фазы приводит к соотношению

т.е. частица с отрицательной энергией движется вдоль оси x в отрицательном направлении, имея положительную энергию |E^-|.
    Частица с отрицательной энергией ведёт себя, как частица с положительной энергией, но движущаяся «назад по времени». Другой пример движения «назад по времени» − поведение частицы с отрицательным зарядом -q, движущейся в постоянном магнитном поле. Движение частицы описывается уравнением Лоренца

т.е. движение частицы с положительным зарядом +q описывается тем же уравнением, что и частицы с отрицательным зарядом. Но частица с положительным зарядом в этом случае движется назад по времени − вращается в противоположном направлении в магнитном поле.
    Из рассмотренных примеров видно, что частица, имеющая электрический заряд +q и отрицательную энергию, ведёт себя так же как и частица с отрицательным электрическим зарядом -q и положительной энергией.
    Электрон с отрицательной энергией должен двигаться во внешнем поле как частица с положительным зарядом. Поэтому при переходе электрона области положительных энергий в область отрицательных энергий должен одновременно измениться заряд электрона – он должен стать положительным +e. Переходы электронов в состояния с отрицательной энергией нарушали закон сохранения электрического заряда. Нужно было найти способ запретить такие переходы. Ход мыслей П. Дирака был следующий. Так как электроны являются фермионами, это можно было сделать, предположив, что все состояния с отрицательной энергией заняты. Тогда в соответствии с принципом Паули переходы в состояния с отрицательной энергией оказываются запрещёнными. Однако такое предположе­ние приводило к новой проблеме − бесконечному числу частиц, заполняющих все отрицательные состояния − появлению физического вакуума, имеющего бесконечный электрический заряд и массу. Возможность такого состояния Дирак объяснил тем, что бесконечный физический вакуум будет ненаблюдаем, так как наблюдаются только отклонения энергии или электрического заряда от состояния физического вакуума. Можно ли обнаружить электроны заполняющие отрицательные состояния физического вакуума? Гамма-квант с энергией большей, чем 2m_ec² может перевести электрон из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией. Тогда будет наблюдаться обычный электрон с положительной энергией и отрицательным зарядом, а вакантное место в вакууме будет наблюдаться как частица с положительным зарядом. Так как в то время была известна всего одна частица с положительным электрическим зарядом – протон, Дирак первоначально отождествил протоны с частицами, заполняющими отрицательные состояния вакуума. Однако это предположение породило новые, гораздо более сложные проблемы − неустойчивость нашего мира − приводило к невозможности существования атома водорода. Электрон и протон должны были в результате взаимодействия исчезнуть, превратившись в γ-кванты. Кроме того, необходимо было объяснить большую разницу масса электрона и протона. Если протон это действительно дырка, образовавшаяся в результате вылета электрона, почему протон имеет массу в 2000 раз больше массы электрона? Дирак верил в созданную им теорию дырок и в результате сделал следующий шаг. Он объявил, что должна существовать новая неизвестная частица, имеющая такую же массу как электрон, но положительный электрический заряд. Эта частица является античастицей по отношению к электрону.

П. Дирак: «На протяжении двух лет я занимался боровскими орбитами и пришел к выводу, что развить их в общую квантовую механику безнадежно. В это время Гейзенберг предложил свою матричную механику, и мне вдруг стало ясно, что ключом к решению проблемы служит некоммутативная алгебра. Вскоре Шредингер разработал волновую механику и показал, что она эквивалентна теории Гейзенберга.
    Основываясь на этих теориях, я развил общую теорию преобразований, которую можно было применять при вычислении вероятностей любых коммутирующих динамических переменных. Это доставило мне большое удовлетворение.
    Для построения релятивистской теории частицы имелось волновое уравнение Клейна − Гордона, квадратичное по ∂/∂t. В то время оно удовлетворяло большинство физиков. Мне же оно не нравилось, потому что я был очень привязан к своей теории преобразований, которая требовала, чтобы уравнение было линейным по ∂/∂t. Эта неудовлетворенность заставила меня продолжить поиски нового релятивистского волнового уравнения. Наконец, я нашел уравнение, линейное по ∂/∂t и совместимое с моей теорией преобразований. Оно автоматически привело к спину h/2 и к правильному значению магнитного момента электрона. Эти результаты были неожиданными для меня.
    Я применил это уравнение к электрону в атоме водорода в первом приближении теории возмущений и получил результаты, согласующиеся с данными опыта. Уравнение автоматически приводило к правильному магнитному .моменту, и именно поэтому оно не содержало той ошибки, которая получалась при использовании уравнения Клейна − Гордона, приводившего к неверным результатам для спектра водорода.
    Но у этого уравнения имелась и новая трудность, а именно, частица могла находиться в состояниях с отрицательной энергией. Я знал о такой трудности с проблемой отрицательных энергий с самого начала работы, но считал это затруднение менее серьезным по сравнению с остальными, не столь серьезным, как, например, невозможность применять преобразования, вытекающие из общей теории преобразований.
    Проблема отрицательных энергий была разрешена несколько позже выдвинутой мною идеей об учете принципа исключения Паули для электронов (согласно которому в любом данном состоянии не может находиться более одного электрона) при дополнительном смелом предположении, что все состояния с отрицательной энергией в вакууме заполнены, а потому дырка в состояниях с отрицательной энергией проявляется как физическая частица. Это была бы частица со спином электрона, но она обладала бы положительным зарядом вместо отрицательного заряда у электрона и имела бы положительную энергию.
    Когда я впервые обдумывал эту идею, я считал, что новая частица должна иметь такую же массу, что и электрон, вследствие симметрии между положительными и отрицательными массами и энергиями, которая всюду проявляется в теории. Но в те времена единственными известными элементарными частицами были электрон и протон. Я не осмелился постулировать существование новой частицы. Весь климат общественного мнения в те дни был против постулирования новых частиц, в резком контрасте с тем, что мы наблюдаем сейчас. Тогда я опубликовал свою работу как теорию электронов  и протонов в надежде, что каким-то необъяснимым образом кулоновское взаимодействие между частицами приведет к большому отличию в массах электрона и протона.
    Конечно, в этом пункте я был совершенно неправ и вскоре математики указали, что абсолютно невозможно получить такую асимметрию между состояниями с положительной и отрицательной энергиями. И впервые Вейль опубликовал категорическое утверждение о том, что новая частица должна иметь такую же массу, что и электрон. Теория с равными массами была подтверждена немного спустя на опыте, когда Андерсон обнаружил позитрон».

 Частица с зарядом +q является античастицей по отношению к частице с зарядом -q. Аналогичные рассуждения относятся к частице с отрицательным зарядом. Частицы с отрицательной энергией являются античастицами по отношению к частицам с положительной энергией.
    Наряду с электроном, имеющим отрицательный электрический заряд, должна, согласно уравнению Дирака, существовать положительно заряженная античастица.
    Античастицы должны существовать не только у электрически заряженных частиц, но и у частиц, имеющих сохраняющуюся в различных физических процессах физическую величину. Одним из таких квантовых чисел является барионное число (заряд) B. Поэтому нейтрон, имеющий электрический заряд Q = 0, но единичный положительный барионный заряд, тоже должен иметь античастицу – антинейтрон.

B(n) = +1,  Q(n) = 0;    B() = -1, Q() = 0

    Античастицей протона является частица, имеющая такую же массу как протон, равный по абсолютной величине, но отрицательный электрический заряд. Барионные заряды протона и антипротона также имеют противоположные значения

B(p) = +1,  Q(p) = +1e;    B() = -1, Q() = -1e

    С современной точки зрения в большинстве случаев нет необходимости рассматривать античастицы как частицы, распространяющиеся назад во времени. Гораздо проще рассматривать частицы и античастицы как физические объекты, характеризующиеся определённым набором квантовых чисел. Какие-то квантовые числа у частицы и античастицы совпадают, а какие-то имеют противоположные значения. Существенно то, что

• частица и античастица при взаимодействии аннигилируют,
• из состояния с нулевыми квантовыми числами частица и античастица всегда рождаются парами.

Поэтому в дальнейшем на диаграммах Фейнмана мы не будем рисовать стрелки, а рядом с внешними и внутренними линиями в тех случаях, когда это необходимо, будем указывать тип частицы.

[*] Dirас P. А. М. Recollections of an Exciting Era//History of Twentieth Century Physics: Proceedings of the International [Summer] School of Physics «Enrico Fermi». Course LVII. Varenna, Lake Como, Italy, villa Monastero. July 31 - August 12. 1972,- (Rendiconti S. I. F. - LVII).- New York: Academic Press, 1977 - P. 109-146.- УФН, том 153, вып. 1 (1987). Перевод H. Я. Смородинской.